Упр.21.9 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.9 Вычислите интеграл: а)интеграл (0;Пи/2) sin2xcos3xdx; в)интеграл (0;Пи/3) cos7xcos5xdx; б)интеграл (Пи/4;Пи) cos2(x/2) dx;г)интеграл (-Пи;Пи) sin2(3x)dx.
а) Используем формулу произведения в сумму:
$$\sin 2x \cos 3x=\frac12\bigl(\sin(2x+3x)+\sin(2x-3x)\bigr)=\frac12(\sin 5x-\sin x).$$
Тогда
$$ \int\limits_0^{\pi/2}\sin 2x\cos 3x\,dx =\frac12\int\limits_0^{\pi/2}(\sin 5x-\sin x)\,dx $$
$$ =\frac12\left(-\frac{\cos 5x}{5}+\cos x\right)\Bigg|_0^{\pi/2} =\left(-\frac{\cos 5x}{10}+\frac{\cos x}{2}\right)\Bigg|_0^{\pi/2}. $$
$$ =\left(-\frac{\cos \frac{5\pi}{2}}{10}+\frac{\cos \frac{\pi}{2}}{2}\right) -\left(-\frac{\cos 0}{10}+\frac{\cos 0}{2}\right) =0-\left(-\frac{1}{10}+\frac12\right) =-\frac25. $$
б) Применим формулу:
$$\cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}.$$
Тогда
$$ \int\limits_{\pi/4}^{\pi}\cos^2\frac{x}{2}\,dx =\frac12\int\limits_{\pi/4}^{\pi}(1+\cos x)\,dx $$
$$ =\frac12\left(x+\sin x\right)\Bigg|_{\pi/4}^{\pi} =\frac12\left(\pi+0-\frac{\pi}{4}-\frac{\sqrt2}{2}\right) =\frac{3\pi}{8}-\frac{\sqrt2}{4}. $$
в) Используем формулу произведения в сумму:
$$\cos 7x\cos 5x=\frac12\bigl(\cos(7x-5x)+\cos(7x+5x)\bigr)=\frac12(\cos 2x+\cos 12x).$$
Тогда
$$ \int\limits_0^{\pi/3}\cos 7x\cos 5x\,dx =\frac12\int\limits_0^{\pi/3}(\cos 2x+\cos 12x)\,dx $$
$$ =\frac12\left(\frac{\sin 2x}{2}+\frac{\sin 12x}{12}\right)\Bigg|_0^{\pi/3} =\left(\frac{\sin 2x}{4}+\frac{\sin 12x}{24}\right)\Bigg|_0^{\pi/3}. $$
$$ =\frac{\sin \frac{2\pi}{3}}{4}+\frac{\sin 4\pi}{24}-0 =\frac{\sqrt3/2}{4} =\frac{\sqrt3}{8}. $$
г) Используем формулу:
$$\sin^2 3x=\frac{1-\cos 6x}{2}.$$
Тогда
$$ \int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin^2 3x\,dx =\frac12\int\limits_{-\pi}^{\pi}(1-\cos 6x)\,dx $$
$$ =\frac12\left(x-\frac{\sin 6x}{6}\right)\Bigg|_{-\pi}^{\pi} =\frac12\left(\pi-(-\pi)\right) =\pi. $$
Ответ
а) $$-\frac25$$; б) $$\frac{3\pi}{8}-\frac{\sqrt2}{4}$$; в) $$\frac{\sqrt3}{8}$$; г) $$\pi$$.
