Упр.21.8 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.8 а)интеграл (-Пи/4;Пи/2) cos2xdx; б)интеграл (0;Пи/3) 5/sin2(x+Пи/3) dx; в)интеграл (Пи/2;Пи) 2sin(x/3)dx; г)интеграл (Пи/4;Пи/3) 7/cos2(3x) dx.

1. $$\int\limits_{-\pi/4}^{\pi/2}\cos 2x\,dx=\left(\frac12\sin 2x\right)\Bigg|_{-\pi/4}^{\pi/2}$$

   $$=\frac12\sin\pi-\frac12\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0-\frac12(-1)=\frac12.$$

2. $$\int\limits_{0}^{\pi/3}\frac{5}{\sin^2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)}\,dx=\int\limits_{0}^{\pi/3}5\csc^2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\,dx$$

   $$=\left(-5\ctg\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\right)\Bigg|_{0}^{\pi/3}$$

   $$=-5\ctg\frac{2\pi}{3}+5\ctg\frac{\pi}{3}$$

   $$=-5\left(-\frac{\sqrt3}{3}\right)+5\cdot\frac{\sqrt3}{3}=\frac{10\sqrt3}{3}.$$

3. $$\int\limits_{\pi/2}^{\pi}2\sin\frac{x}{3}\,dx=\left(-6\cos\frac{x}{3}\right)\Bigg|_{\pi/2}^{\pi}$$

   $$=-6\cos\frac{\pi}{3}+6\cos\frac{\pi}{6}=-6\cdot\frac12+6\cdot\frac{\sqrt3}{2}$$

   $$=-3+3\sqrt3=3(\sqrt3-1).$$

4. $$\int\limits_{\pi/4}^{\pi/3}\frac{7}{\cos^2 3x}\,dx=\int\limits_{\pi/4}^{\pi/3}7\sec^2 3x\,dx$$

   $$=\left(\frac73\tg 3x\right)\Bigg|_{\pi/4}^{\pi/3}$$

   $$=\frac73\tg\pi-\frac73\tg\frac{3\pi}{4}=0-\frac73(-1)=\frac73.$$

Ответ

а) $$\frac12$$; б) $$\frac{10\sqrt3}{3}$$; в) $$3(\sqrt3-1)$$; г) $$\frac73$$.