Упр.21.77 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.77. Докажите, что площадь S криволинейной трапеции раниченной параболой у = ах2 + bх + с и прямыми х=a,x=B(a > B),y = 0 можно найти по формуле S=(B-a)/6*(y(a)+y(B)+4y((a+B)/2))) (формула Симпсона).

Подробный ответ

Найдём площадь криволинейной трапеции как определённый интеграл:

$$S=\int_{\alpha}^{\beta}(ax^2+bx+c)\,dx.$$

Вычислим интеграл:

$$ S=\left(\frac{ax^3}{3}+\frac{bx^2}{2}+cx\right)\Bigg|_{\alpha}^{\beta} =\frac{a}{3}(\beta^3-\alpha^3)+\frac{b}{2}(\beta^2-\alpha^2)+c(\beta-\alpha). $$

Вынесем $$\beta-\alpha$$:

$$ S=(\beta-\alpha)\left(\frac{a(\beta^2+\alpha\beta+\alpha^2)}{3}+\frac{b(\beta+\alpha)}{2}+c\right). $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ S=\frac{\beta-\alpha}{6}\left(2a(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2)+3b(\alpha+\beta)+6c\right). $$

Теперь преобразуем правую часть формулы Симпсона. Так как

$$y(x)=ax^2+bx+c,$$

то

$$y(\alpha)=a\alpha^2+b\alpha+c,$$

$$y(\beta)=a\beta^2+b\beta+c,$$

$$ y\!\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) =a\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)^2+b\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)+c. $$

Тогда

$$ \begin{aligned} y(\alpha)+y(\beta)+4y\!\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) &=a\alpha^2+b\alpha+c+a\beta^2+b\beta+c \\ &\quad +4\left(a\frac{(\alpha+\beta)^2}{4}+b\frac{\alpha+\beta}{2}+c\right) \\ &=a(\alpha^2+\beta^2+(\alpha+\beta)^2)+3b(\alpha+\beta)+6c \\ &=2a(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2)+3b(\alpha+\beta)+6c. \end{aligned} $$

Следовательно,

$$ \frac{\beta-\alpha}{6}\left(y(\alpha)+y(\beta)+4y\!\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\right) =\frac{\beta-\alpha}{6}\left(2a(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2)+3b(\alpha+\beta)+6c\right). $$

Это совпадает с найденным выражением для площади. Значит,

$$ S=\frac{\beta-\alpha}{6}\left(y(\alpha)+y(\beta)+4y\!\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\right). $$