Упр.21.76 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.76. а) При каком положительном значении параметра а площадь фигуры, ограниченной линиями у =1/x2 у = 0,x=1,x=a, равна 7/8? б) При каком отрицательном значении параметра а площадь фигуры, ограниченной линиями у = 1/x2, у = 0,х = -1, х = а, равна 10/11 ?

а) Возможны два случая: $$a>1$$ и $$0<a<1$$.

Если $$a>1$$, то площадь равна

$$ S=\int_{1}^{a}\frac{1}{x^2}\,dx=\left.-\frac{1}{x}\right|_{1}^{a}=1-\frac{1}{a}. $$

По условию

$$ 1-\frac{1}{a}=\frac{7}{8}, $$

откуда

$$ \frac{1}{a}=\frac{1}{8}, \qquad a=8. $$

Если $$0<a<1$$, то

$$ S=\int_{a}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx=\left.-\frac{1}{x}\right|_{a}^{1}=-1+\frac{1}{a}. $$

По условию

$$ -1+\frac{1}{a}=\frac{7}{8}, $$

откуда

$$ \frac{1}{a}=\frac{15}{8}, \qquad a=\frac{8}{15}. $$

б) Здесь $$a<0$$, поэтому

$$ S=\int_{-1}^{a}\frac{1}{x^2}\,dx=\left.-\frac{1}{x}\right|_{-1}^{a}=-\frac{1}{a}-1. $$

По условию

$$ -\frac{1}{a}-1=\frac{10}{11}, $$

откуда

$$ -\frac{1}{a}=\frac{21}{11}, \qquad a=-\frac{11}{21}. $$

Если же границы интегрирования взять в обратном порядке, получаем эквивалентное уравнение

$$ -1-\frac{1}{a}=-\frac{10}{11}, $$

и тогда

$$ \frac{1}{a}=-\frac{1}{11}, \qquad a=-11. $$

Для площади фигуры при отрицательном $$a$$ подходит значение $$a=-11$$.

Ответ

а) $$8$$; $$\frac{8}{15}$$; б) $$-11$$.