Упр.21.75 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.75. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = х3-6х2 + 9х + 1 и касательной к нему в точке х = 3. б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х3 — 3х и касательной к нему в точке х = -1.

а) $$f(x)=x^3-6x^2+9x+1,$$ $$x_0=3.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=3x^2-12x+9,$$

$$f'(3)=27-36+9=0.$$

Значит, касательная в точке $$x=3$$ горизонтальна. Найдём её уравнение:

$$f(3)=27-54+27+1=1,$$

следовательно, касательная имеет вид $$y=1.$$

Точки пересечения графика и касательной найдём из уравнения:

$$x^3-6x^2+9x+1=1,$$

$$x^3-6x^2+9x=0,$$

$$x(x^2-6x+9)=0,$$

$$x(x-3)^2=0,$$

откуда $$x=0$$ и $$x=3.$$

Площадь фигуры:

$$S=\int\limits_0^3\bigl(x^3-6x^2+9x+1-1\bigr)\,dx=\int\limits_0^3(x^3-6x^2+9x)\,dx.$$

$$S=\left(\frac{x^4}{4}-2x^3+\frac{9x^2}{2}\right)\Bigg|_0^3$$

$$=\left(\frac{81}{4}-54+\frac{81}{2}\right)-0=\frac{27}{4}.$$

б) $$f(x)=x^3-3x,$$ $$x_0=-1.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=3x^2-3,$$

$$f'(-1)=3\cdot(-1)^2-3=0.$$

Значит, касательная в точке $$x=-1$$ горизонтальна. Найдём её уравнение:

$$f(-1)=(-1)^3-3\cdot(-1)=2,$$

следовательно, касательная имеет вид $$y=2.$$

Точки пересечения графика и касательной найдём из уравнения:

$$x^3-3x=2,$$

$$x^3-3x-2=0,$$

$$x^2- x-2=0 \quad \text{после разложения:} \quad (x+1)(x^2-x-2)=0,$$

удобнее сразу разложить:

$$x^3-3x-2=(x+1)^2(x-2)=0.$$

Отсюда точки пересечения: $$x=-1$$ и $$x=2.$$

Площадь фигуры:

$$S=\int\limits_{-1}^2\bigl(2-(x^3-3x)\bigr)\,dx=\int\limits_{-1}^2(2-x^3+3x)\,dx.$$

$$S=\left(2x-\frac{x^4}{4}+\frac{3x^2}{2}\right)\Bigg|_{-1}^2$$

$$=\left(4-4+6\right)-\left(-2-\frac14+\frac32\right)=6-\left(-\frac34\right)=\frac{27}{4}.$$

Ответ

а) $$\frac{27}{4}$$; б) $$\frac{27}{4}$$.