Упр.21.74 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.74. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = x2 корень 3/2 и двумя касательными, проведенными к нему из точки на оси у так, что угол между касательными равен 60 градусов. б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у =-x2/2 корень 3 и двумя касательными, проведенными к нему из точки на оси у так, что угол между касательными равен 120 градусов.

Подробный ответ

а) Пусть $$f(x)=\frac{x^2\sqrt{3}}{2}.$$ Тогда

$$f'(x)=x\sqrt{3}.$$

Угол между касательными равен $$60^\circ$$, значит угловые коэффициенты касательных равны $$\pm \tan 30^\circ=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Для правой касательной имеем

$$f'(x_0)=\sqrt{3}x_0=\sqrt{3}, \quad x_0=1.$$

Точка касания: $$\left(1,\frac{\sqrt{3}}{2}\right).$$ Уравнение касательной:

$$y-\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}(x-1),$$

то есть

$$y=\sqrt{3}x-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Искомая площадь вдвое больше площади между касательной и параболой на отрезке $$[0;1]$$:

$$ S=2\int_0^1\left(\sqrt{3}x-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{x^2\sqrt{3}}{2}\right)\,dx. $$

Вычислим:

$$ S=2\sqrt{3}\int_0^1\left(x-\frac12-\frac{x^2}{2}\right)\,dx =2\sqrt{3}\left(\frac12-\frac12-\frac16\right) =\frac{\sqrt{3}}{3}. $$

б) Пусть $$f(x)=-\frac{x^2}{2\sqrt{3}}.$$ Тогда

$$f'(x)=-\frac{x}{\sqrt{3}}.$$

Угол между касательными равен $$120^\circ$$, значит каждая касательная образует с осью $$Ox$$ угол $$150^\circ$$ и $$30^\circ$$, поэтому для одной из них

$$f'(x_0)=-\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Тогда

$$-\frac{x_0}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}, \quad x_0=1.$$

Точка касания: $$\left(1,-\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)=\left(1,-\frac{\sqrt{3}}{6}\right).$$ Уравнение касательной:

$$ y+\frac{\sqrt{3}}{6}=-\frac{1}{\sqrt{3}}(x-1), $$

то есть

$$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{6}.$$

Искомая площадь вдвое больше площади между касательной и параболой на отрезке $$[0;1]$$:

$$ S=2\int_0^1\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{x^2}{2\sqrt{3}}\right)\,dx. $$

Вычислим:

$$ S=2\left(-\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{\sqrt{3}}{18}\right) =\frac{\sqrt{3}}{9}. $$