Упр.21.73 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.73. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции У = 3 — 1/2 * x2 и двумя касательными, проведенными к нему из точки на оси у так, что угол между касательными равен 90 градусов. б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 0,5(х2 + 5) и двумя касательными, проведенными к нему из точки на оси у так, что угол между касательными равен 90 градусов.

Подробный ответ

а) Пусть касательные проведены из точки на оси $$Oy$$ и образуют угол $$90^\circ$$. Тогда их угловые коэффициенты взаимно перпендикулярны, значит, если один из них равен $$k$$, то другой равен $$-\\frac{1}{k}$$. Для симметричной относительно оси $$Oy$$ параболы удобнее взять касательные в точках с абсциссами $$x=\\pm 1$$.
Для функции $$y=3-\\frac{1}{2}x^2$$ имеем
$$y’=-x.$$
В точке $$x=1$$ угловой коэффициент касательной равен $$-1$$, значит, касательная имеет вид
$$y-\\left(3-\\frac{1}{2}\\right)=-1(x-1),$$
откуда
$$y=\\frac{7}{2}-x.$$
Искомая фигура состоит из двух одинаковых частей, поэтому
$$ S=2\\int_0^1\\left(\\frac{7}{2}-x-\\left(3-\\frac{1}{2}x^2\\right)\\right)dx =2\\int_0^1\\left(\\frac{1}{2}-x+\\frac{1}{2}x^2\\right)dx. $$
Вычислим:
$$ S=2\\left(\\frac{1}{2}x-\\frac{1}{2}x^2+\\frac{1}{6}x^3\\right)\\Bigg|_0^1 =2\\left(\\frac{1}{2}-\\frac{1}{2}+\\frac{1}{6}\\right) =\\frac{1}{3}. $$
б) Для функции $$y=0{,}5(x^2+5)=\\frac{1}{2}x^2+\\frac{5}{2}$$ имеем
$$y’=x.$$
В точке $$x=1$$ угловой коэффициент касательной равен $$1$$, значит, касательная имеет вид
$$y-3=1(x-1),$$
то есть
$$y=x+2.$$
Тогда площадь искомой фигуры равна
$$ S=2\\int_0^1\\left((x+2)-\\frac{1}{2}(x^2+5)\\right)dx =2\\int_0^1\\left(x-\\frac{1}{2}-\\frac{1}{2}x^2\\right)dx. $$
Вычислим:
$$ S=2\\left(\\frac{1}{2}x^2-\\frac{1}{2}x-\\frac{1}{6}x^3\\right)\\Bigg|_0^1 =2\\left(\\frac{1}{2}-\\frac{1}{2}-\\frac{1}{6}\\right). $$
Берём модуль площади:
$$S=\\frac{1}{3}.$$