Упр.21.72 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.72. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х3, касательной к нему в точке х = 1 и осью у. б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х3 и касательными к нему в точках х = 0 и х = 1.

а) Для функции $$y=x^3$$ найдём производную:

$$y’=3x^2.$$

Уравнение касательной в точке $$x=1$$:

$$y(1)=1,\quad y'(1)=3,$$

$$y=1+3(x-1)=3x-2.$$

Искомая фигура ограничена графиками $$y=x^3$$, $$y=3x-2$$ и осью $$Oy$$, то есть при $$x\in[0;1]$$. Тогда

$$ S=\int_0^1\bigl(x^3-(3x-2)\bigr)\,dx =\int_0^1(x^3-3x+2)\,dx. $$

$$ S=\left(\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_0^1 =\frac14-\frac32+2=\frac34. $$

б) Касательная к графику $$y=x^3$$ в точке $$x=0$$:

$$y(0)=0,\quad y'(0)=0,$$

значит, $$y=0.$$

Касательная в точке $$x=1$$ уже найдена:

$$y=3x-2.$$

Точки пересечения прямой $$y=3x-2$$ с осью $$Ox$$ и графиком $$y=x^3$$:

$$3x-2=0 \Rightarrow x=\frac23,\qquad x^3=0 \Rightarrow x=0.$$

Площадь фигуры равна сумме площадей на отрезках $$[0;\frac23]$$ и $$[\frac23;1]$$:

$$ S=\int_0^{2/3}x^3\,dx+\int_{2/3}^1\bigl(x^3-(3x-2)\bigr)\,dx. $$

Вычислим:

$$ \int_0^{2/3}x^3\,dx=\frac{x^4}{4}\Bigg|_0^{2/3}=\frac{4}{81}, $$

$$ \int_{2/3}^1(x^3-3x+2)\,dx =\left(\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_{2/3}^1 =\frac{59}{324}. $$

Тогда

$$ S=\frac{4}{81}+\frac{59}{324} =\frac{16}{324}+\frac{59}{324} =\frac{75}{324} =\frac{25}{108}. $$

Ответ

а) $$\frac34$$; б) $$\frac{25}{108}$$.