Упр.21.71 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.71. а) Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х4/3, касательной к графику этой функции, проведенной в точке х0 = 8, и осью абсцисс. б) Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = x корень 4 степени x, касательной к графику этой функции, проведенной в точке х0 = 1, и осью ординат.

Подробный ответ

а) $$f(x)=x^{\frac43}, \quad x_0=8, \quad y=0.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac43x^{\frac13}.$$

В точке $$x=8$$:

$$f'(8)=\frac43\sqrt[3]{8}=\frac43\cdot 2=\frac83,$$

$$f(8)=8^{\frac43}=\left(8^{\frac13}\right)^4=2^4=16.$$

Уравнение касательной:

$$y-16=\frac83(x-8),$$

$$y=\frac83x-\frac{16}{3}.$$

Точки пересечения с осью абсцисс:

$$x^{\frac43}=0 \Rightarrow x=0,$$

$$\frac83x-\frac{16}{3}=0 \Rightarrow x=2.$$

Искомая площадь:

$$S=\int_0^2 x^{\frac43}\,dx+\int_2^8\left(x^{\frac43}-\frac83x+\frac{16}{3}\right)\,dx.$$

Вычислим:

$$\int x^{\frac43}\,dx=\frac37x^{\frac73},$$

$$\int\left(x^{\frac43}-\frac83x+\frac{16}{3}\right)\,dx=\frac37x^{\frac73}-\frac43x^2+\frac{16}{3}x.$$

Тогда

$$S=\left.\frac37x^{\frac73}\right|_0^2+\left.\left(\frac37x^{\frac73}-\frac43x^2+\frac{16}{3}x\right)\right|_2^8.$$

$$S=\frac37\cdot 2^{\frac73}+\left(\frac37\cdot 8^{\frac73}-\frac43\cdot 8^2+\frac{16}{3}\cdot 8\right)-\left(\frac37\cdot 2^{\frac73}-\frac43\cdot 2^2+\frac{16}{3}\cdot 2\right).$$

После сокращения получаем:

$$S=\frac{384}{7}-\frac{144}{3}=54\frac67-48=6\frac67.$$

б) $$f(x)=x\sqrt[4]{x}=x^{\frac54}, \quad x_0=1, \quad x=0.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac54x^{\frac14}.$$

В точке $$x=1$$:

$$f'(1)=\frac54,\qquad f(1)=1.$$

Уравнение касательной:

$$y-1=\frac54(x-1),$$

$$y=\frac54x-\frac14.$$

Искомая площадь:

$$S=\int_0^1\left(x^{\frac54}-\frac54x+\frac14\right)\,dx.$$