Упр.21.70 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.70. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой у = 2х — х2, касательной к ней в точке х = 1 и осью у. б) Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой у = 2×2 — 6x, касательной к ней в точке х = 1,5 и осью у.

а) Пусть $$f(x)=2x-x^2.$$ Тогда

$$f'(x)=2-2x,$$

$$f'(1)=0,$$

$$f(1)=2\cdot 1-1^2=1.$$

Уравнение касательной в точке $$x=1$$:

$$y=1.$$

Искомая площадь равна

$$S=\int\limits_0^1 \bigl(1-(2x-x^2)\bigr)\,dx=\int\limits_0^1 (1-2x+x^2)\,dx.$$

$$ S=\left(x-x^2+\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_0^1 =1-1+\frac13=\frac13. $$

б) Пусть $$f(x)=2x^2-6x.$$ Тогда

$$f'(x)=4x-6,$$

$$f'(1{,}5)=4\cdot 1{,}5-6=0,$$

$$f(1{,}5)=2\cdot (1{,}5)^2-6\cdot 1{,}5=4{,}5-9=-4{,}5.$$

Уравнение касательной в точке $$x=1{,}5$$:

$$y=-4{,}5.$$

Искомая площадь равна

$$S=\int\limits_0^{1{,}5}\bigl((-4{,}5)-(2x^2-6x)\bigr)\,dx=\int\limits_0^{1{,}5}(-4{,}5-2x^2+6x)\,dx.$$

$$ S=\left(-4{,}5x-\frac{2x^3}{3}+3x^2\right)\Bigg|_0^{1{,}5} =-6{,}75-2{,}25+6{,}75=2{,}25. $$

Ответ

а) $$\frac13$$; б) $$2{,}25$$.