Упр.21.7 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.7 а)интеграл (Пи/2;Пи) sinxdx;б)интеграл (-Пи/4;Пи/4) dx/cos2(x);в)интеграл (-Пи/2;Пи/2) cosxdx;г)интеграл (Пи/4;Пи/2) dx/sin2(x).

Вычислим каждый интеграл, используя первообразные:

1. $$\int_{\pi/2}^{\pi}\sin x\,dx=-\cos x\Big|_{\pi/2}^{\pi}=-\cos\pi-(-\cos\frac{\pi}{2})=1.$$

2. $$\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{dx}{\cos^2 x}=\tg x\Big|_{-\pi/4}^{\pi/4}=\tg\frac{\pi}{4}-\tg\left(-\frac{\pi}{4}\right)=1-(-1)=2.$$

3. $$\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x\,dx=\sin x\Big|_{-\pi/2}^{\pi/2}=\sin\frac{\pi}{2}-\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=1-(-1)=2.$$

4. $$\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{dx}{\sin^2 x}=-\ctg x\Big|_{\pi/4}^{\pi/2}=-\ctg\frac{\pi}{2}-\left(-\ctg\frac{\pi}{4}\right)=0+1=1.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$2$$; в) $$2$$; г) $$1$$.