Упр.21.69 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.69. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 2х — 5 и графиком ее первообразной, проходящей через точку М(1; -3). б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 4х + 1 и графиком ее первообразной, проходящей через точку М(2; 6).

Подробный ответ

а) Найдём первообразную функции $$f(x)=2x-5$$:

$$F(x)=\int (2x-5)\,dx=x^2-5x+C.$$

Так как график первообразной проходит через точку $$M(1;-3),$$ то

$$-3=1^2-5\cdot 1+C,$$

откуда $$C=1.$$ Значит,

$$F(x)=x^2-5x+1.$$

Найдём точки пересечения графиков:

$$2x-5=x^2-5x+1,$$

$$x^2-7x+6=0,$$

$$\left(x-1\right)\left(x-6\right)=0,$$

$$x=1 \text{ или } x=6.$$

На отрезке $$[1;6]$$ сверху находится прямая $$y=2x-5,$$ поэтому площадь равна

$$S=\int\limits_{1}^{6}\bigl((2x-5)-(x^2-5x+1)\bigr)\,dx=\int\limits_{1}^{6}(-x^2+7x-6)\,dx.$$

$$S=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{7x^2}{2}-6x\right)\Bigg|_{1}^{6}$$

$$=\left(-\frac{216}{3}+\frac{7\cdot 36}{2}-36\right)-\left(-\frac{1}{3}+\frac{7}{2}-6\right)$$

$$=-72+126-36+\frac{1}{3}-\frac{7}{2}+6=20\frac{5}{6}.$$

б) Найдём первообразную функции $$f(x)=4x+1$$:

$$F(x)=\int (4x+1)\,dx=2x^2+x+C.$$

Так как график первообразной проходит через точку $$M(2;6),$$ то

$$6=2\cdot 2^2+2+C,$$

откуда $$C=-4.$$ Значит,

$$F(x)=2x^2+x-4.$$

Найдём точки пересечения графиков:

$$4x+1=2x^2+x-4,$$

$$2x^2-3x-5=0,$$

$$D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot (-5)=49,$$

$$x_{1,2}=\frac{3\pm 7}{4},$$

$$x_1=-1,\quad x_2=\frac{5}{2}.$$

На отрезке $$\left[-1;\frac{5}{2}\right]$$ сверху находится прямая $$y=4x+1,$$ поэтому

$$S=\int\limits_{-1}^{5/2}\bigl((4x+1)-(2x^2+x-4)\bigr)\,dx=\int\limits_{-1}^{5/2}(-2x^2+3x+5)\,dx.$$

$$S=\left(-\frac{2x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+5x\right)\Bigg|_{-1}^{5/2}$$

$$=\left(-\frac{2\cdot (5/2)^3}{3}+\frac{3\cdot (5/2)^2}{2}+5\cdot \frac{5}{2}\right)-\left(-\frac{2\cdot (-1)^3}{3}+\frac{3\cdot (-1)^2}{2}-5\right)$$

$$=\frac{125}{12}-\frac{75}{8}+\frac{25}{2}-\left(\frac{2}{3}+\frac{3}{2}-5\right)=14\frac{7}{24}.$$