Упр.21.67 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.67 а)y=sin2x, y=16×2/Пи2; б)y=x2-1,y=cosПиx/2; в)y=cosx,y=(2x/Пи — 1)2; г)y=x2-2x,y=sinПиx/2.

Подробный ответ

а) Точки пересечения графиков найдём из уравнения
$$\sin 2x=\frac{16x^2}{\pi^2}.$$
По рисунку и из проверки видно, что они находятся при $$x=0$$ и $$x=\frac{\pi}{4}.$$ Тогда
$$ S=\int\limits_{0}^{\pi/4}\left(\sin 2x-\frac{16x^2}{\pi^2}\right)\,dx. $$
Вычислим:
$$ S=\left(-\frac12\cos 2x-\frac{16}{\pi^2}\cdot\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{\pi/4} =\left(-\frac12\cos\frac{\pi}{2}-\frac{16}{3\pi^2}\cdot\frac{\pi^3}{64}\right)-\left(-\frac12\cos 0\right). $$
$$ S=0-\frac{\pi}{12}+\frac12=\frac12-\frac{\pi}{12}. $$
б) Точки пересечения:
$$x^2-1=\cos\frac{\pi x}{2}.$$
Подходящие точки: $$x=-1$$ и $$x=1$$. На этом промежутке сверху находится график $$y=\cos\frac{\pi x}{2}$$, снизу — $$y=x^2-1$$, значит
$$ S=\int\limits_{-1}^{1}\left(\cos\frac{\pi x}{2}-x^2+1\right)\,dx. $$
$$ S=\left(\frac{2}{\pi}\sin\frac{\pi x}{2}-\frac{x^3}{3}+x\right)\Bigg|_{-1}^{1} =\frac{4}{\pi}+\frac{4}{3}. $$
в) Точки пересечения:
$$\cos x=\left(\frac{2x}{\pi}-1\right)^2.$$
Они соответствуют $$x=0$$ и $$x=\frac{\pi}{2}$$. Тогда
$$ S=\int\limits_{0}^{\pi/2}\left(\cos x-\left(\frac{2x}{\pi}-1\right)^2\right)\,dx. $$
Раскроем квадрат:
$$ \left(\frac{2x}{\pi}-1\right)^2=\frac{4x^2}{\pi^2}-\frac{4x}{\pi}+1. $$
Тогда
$$ S=\int\limits_{0}^{\pi/2}\left(\cos x-\frac{4x^2}{\pi^2}+\frac{4x}{\pi}-1\right)\,dx =\left(\sin x-\frac{4x^3}{3\pi^2}+\frac{2x^2}{\pi}-x\right)\Bigg|_{0}^{\pi/2}. $$
$$ S=1-\frac{\pi}{6}. $$
г) Точки пересечения:
$$x^2-2x=\sin\frac{\pi x}{2}.$$
По рисунку это $$x=0$$ и $$x=2$$. На отрезке $$[0;2]$$ сверху график $$y=\sin\frac{\pi x}{2}$$, снизу — $$y=x^2-2x$$, поэтому
$$ S=\int\limits_{0}^{2}\left(\sin\frac{\pi x}{2}-x^2+2x\right)\,dx. $$
$$ S=\left(-\frac{2}{\pi}\cos\frac{\pi x}{2}-\frac{x^3}{3}+x^2\right)\Bigg|_{0}^{2} =\frac{4}{3}+\frac{4}{\pi}. $$