Упр.21.66 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.66. а) у = |x2 — 4|, x = 3, x = -3, у = 0; б) у = |x2 — 2|x||, x = 3, x = -3, у = 0.

а) $$y=\lvert x^2-4\rvert,\quad x=-3,\ x=3,\ y=0.$$

Функция чётная, поэтому достаточно найти площадь на отрезке $$[0;3]$$ и удвоить её. На этом отрезке

$$ \lvert x^2-4\rvert= \begin{cases} 4-x^2, & 0\le x\le 2,\\ x^2-4, & 2\le x\le 3. \end{cases} $$

$$ S=2\left(\int_0^2 (4-x^2)\,dx+\int_2^3 (x^2-4)\,dx\right). $$

$$ \int_0^2 (4-x^2)\,dx=\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_0^2=8-\frac{8}{3}=\frac{16}{3}, $$

$$ \int_2^3 (x^2-4)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}-4x\right)\Bigg|_2^3=\left(9-12\right)-\left(\frac{8}{3}-8\right)=\frac{7}{3}. $$

$$ S=2\left(\frac{16}{3}+\frac{7}{3}\right)=2\cdot\frac{23}{3}=\frac{46}{3}=15\frac{1}{3}. $$

б) $$y=\lvert x^2-2\lvert x\rvert\rvert,\quad x=-3,\ x=3,\ y=0.$$

Функция чётная, поэтому

$$ S=2\int_0^3 \lvert x^2-2x\rvert\,dx. $$

На отрезке $$[0;3]$$ имеем

$$ \lvert x^2-2x\rvert= \begin{cases} 2x-x^2, & 0\le x\le 2,\\ x^2-2x, & 2\le x\le 3. \end{cases} $$

$$ S=2\left(\int_0^2 (2x-x^2)\,dx+\int_2^3 (x^2-2x)\,dx\right). $$

$$ \int_0^2 (2x-x^2)\,dx=\left(x^2-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_0^2=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}, $$

$$ \int_2^3 (x^2-2x)\,dx=\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right)\Bigg|_2^3=(9-9)-\left(\frac{8}{3}-4\right)=\frac{4}{3}. $$

$$ S=2\left(\frac{4}{3}+\frac{4}{3}\right)=2\cdot\frac{8}{3}=\frac{16}{3}=5\frac{1}{3}. $$

Ответ

а) $$15\frac{1}{3}$$; б) $$5\frac{1}{3}$$.