Упр.21.65 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.65. а) у = 3 — х2, у = 1 + |x|; б) у = х2, у = 2 — |x|.

1. а) $$y=3-x^2,\quad y=1+|x|$$

   Обе функции чётные, поэтому достаточно найти площадь на промежутке $$[0;1]$$ и удвоить её.

   Точки пересечения при $$x\ge 0$$ найдём из уравнения:

   $$3-x^2=1+x$$

   $$x^2+x-2=0$$

   $$D=1+8=9,\quad x_1=-2,\quad x_2=1$$

   На отрезке $$[0;1]$$ сверху расположена парабола $$y=3-x^2$$, снизу — прямая $$y=1+x$$.

   Тогда

   $$ S=2\int_0^1\bigl((3-x^2)-(1+x)\bigr)\,dx =2\int_0^1(2-x^2-x)\,dx $$

   $$ S=2\left(2x-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_0^1 =2\left(2-\frac13-\frac12\right) =2\cdot\frac76 =\frac73 $$

2. б) $$y=x^2,\quad y=2-|x|$$

   Обе функции чётные, значит снова достаточно рассмотреть промежуток $$[0;1]$$ и удвоить результат.

   Точки пересечения при $$x\ge 0$$ найдём из уравнения:

   $$x^2=2-x$$

   $$x^2+x-2=0$$

   $$D=1+8=9,\quad x_1=-2,\quad x_2=1$$

   На отрезке $$[0;1]$$ сверху расположена прямая $$y=2-x$$, снизу — парабола $$y=x^2$$.

   Тогда

   $$ S=2\int_0^1\bigl((2-x)-x^2\bigr)\,dx =2\int_0^1(2-x-x^2)\,dx $$

   $$ S=2\left(2x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_0^1 =2\left(2-\frac12-\frac13\right) =2\cdot\frac76 =\frac73 $$

Ответ

а) $$\frac73$$; б) $$\frac73$$.