Упр.21.64 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.64 а)y=|x|,y=-|x|+2; б)y=|x+1|,y=-(x-1)2+2; в)y=|x|-2,y=x/2; г)y=(x-1)2, y=-|x+1|+2.

Подробный ответ

а) $$y=|x|,\quad y=-|x|+2.$$
Точки пересечения найдём из уравнения
$$|x|=-|x|+2 \;\Rightarrow\; 2|x|=2 \;\Rightarrow\; |x|=1.$$
Значит, $$x=-1$$ и $$x=1.$$
Площадь фигуры:
$$ S=\int_{-1}^{1}\bigl((-|x|+2)-|x|\bigr)\,dx =\int_{-1}^{1}(2-2|x|)\,dx. $$
Так как подынтегральная функция чётная,
$$ S=2\int_{0}^{1}(2-2x)\,dx =2\left(2x-x^2\right)\Big|_{0}^{1} =2(2-1)=2. $$
б) $$y=|x+1|,\quad y=-(x-1)^2+2.$$
Точка пересечения на рисунке: $$x=0,$$ тогда $$y=1.$$
Площадь фигуры:
$$ S=\int_{0}^{1}\Bigl(\bigl(-(x-1)^2+2\bigr)-|x+1|\Bigr)\,dx. $$
На отрезке $$[0,1]$$ имеем $$|x+1|=x+1,$$ поэтому
$$ S=\int_{0}^{1}\Bigl(-(x-1)^2+2-(x+1)\Bigr)\,dx =\int_{0}^{1}(-x^2+x)\,dx. $$
$$ S=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right)\Big|_{0}^{1} =-\frac13+\frac12=\frac16. $$
в) $$y=|x|-2,\quad y=\frac{x}{2}.$$
Точки пересечения найдём из уравнения
$$|x|-2=\frac{x}{2}.$$
Рассмотрим случаи:
1) при $$x\ge 0$$: $$x-2=\frac{x}{2} \Rightarrow x=4;$$
2) при $$x<0$$: $$-x-2=\frac{x}{2} \Rightarrow x=-\frac43.$$
Площадь фигуры равна сумме двух интегралов:
$$ S=\int_{-\frac43}^{0}\left(\frac{x}{2}-(-x-2)\right)\,dx +\int_{0}^{4}\left(\frac{x}{2}-(x-2)\right)\,dx. $$
$$ S=\int_{-\frac43}^{0}\left(\frac{3x}{2}+2\right)\,dx +\int_{0}^{4}\left(2-\frac{x}{2}\right)\,dx. $$
$$ S=\left(\frac{3x^2}{4}+2x\right)\Big|_{-\frac43}^{0} +\left(2x-\frac{x^2}{4}\right)\Big|_{0}^{4} =\frac43+4=\frac{16}{3}. $$
г) $$y=(x-1)^2,\quad y=-|x+1|+2.$$
Точка пересечения на рисунке: $$x=1,$$ тогда $$y=0.$$
Площадь фигуры:
$$ S=\int_{0}^{1}\Bigl((-|x+1|+2)-(x-1)^2\Bigr)\,dx. $$
На отрезке $$[0,1]$$ имеем $$|x+1|=x+1,$$ значит
$$ S=\int_{0}^{1}\Bigl(-(x+1)+2-(x-1)^2\Bigr)\,dx =\int_{0}^{1}(-x^2+x)\,dx. $$
$$ S=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right)\Big|_{0}^{1} =-\frac13+\frac12=\frac16. $$