Упр.21.63 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.63. а) у = х3, у = 10 — х, х = 0; б) у = х3, у = 10 — х, у = 0; в) у = -х3, у = 5 + 4x, х = 0; г) у = -х3, у = 5 + 4х, у = 0.

1. а) $$y=x^3,\quad y=10-x,\quad x=0.$$

   Найдём точку пересечения графиков:

   $$x^3=10-x,$$

   $$x=2.$$

   На отрезке $$[0;2]$$ сверху расположена прямая $$y=10-x$$, снизу — кривая $$y=x^3$$. Тогда

   $$ S=\int_0^2 (10-x-x^3)\,dx =\left(10x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right)\Bigg|_0^2. $$

   $$ S=20-2-4=14. $$

2. б) $$y=x^3,\quad y=10-x,\quad y=0.$$

   Точка пересечения графиков:

   $$x^3=10-x,\qquad x=2.$$

   Искомая фигура состоит из двух частей:

   $$ S=\int_0^2 x^3\,dx+\int_2^{10}(10-x)\,dx. $$

   $$ S=\left(\frac{x^4}{4}\right)\Bigg|_0^2+\left(10x-\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_2^{10} =4+32=36. $$

3. в) $$y=-x^3,\quad y=5+4x,\quad x=0.$$

   Найдём точку пересечения:

   $$-x^3=5+4x,$$

   $$x=-1.$$

   На отрезке $$[-1;0]$$ сверху находится прямая $$y=5+4x$$, снизу — кривая $$y=-x^3$$. Тогда

   $$ S=\int_{-1}^0 (5+4x+x^3)\,dx =\left(5x+2x^2+\frac{x^4}{4}\right)\Bigg|_{-1}^0. $$

   $$ S=0-\left(-5+2+\frac14\right)=\frac34. $$

4. г) $$y=-x^3,\quad y=5+4x,\quad y=0.$$

   Точка пересечения графиков:

   $$-x^3=5+4x,\qquad x=-1.$$

   Прямая пересекает ось $$Ox$$ в точке

   $$5+4x=0,\qquad x=-\frac54.$$

   Искомая площадь равна сумме площадей двух частей:

   $$ S=\int_{-5/4}^{-1}(5+4x)\,dx+\int_{-1}^{0}(-x^3)\,dx. $$

   $$ S=\left(5x+2x^2\right)\Bigg|_{-5/4}^{-1}+\left(-\frac{x^4}{4}\right)\Bigg|_{-1}^{0} =\frac18+\frac14=\frac38. $$

Ответ

а) $$14$$; б) $$36$$; в) $$\frac34$$; г) $$\frac38$$.