Упр.21.62 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.62 а)y=ex,y=e/x,x=e,x=0,y=0; б)y=(1/3)x,y=x2+1,x=2.

а) Найдём точку пересечения графиков:

$$e^x=\frac{e}{x}$$

При $$x=e$$ получаем $$e^e=\frac{e}{e}=1$$, значит, пересечение происходит при $$x=1$$. На отрезке $$[0;1]$$ выше график $$y=e^x$$, а на отрезке $$[1;e]$$ выше график $$y=\frac{e}{x}$$.

Тогда площадь фигуры:

$$ S=\int_0^1 e^x\,dx+\int_1^e \frac{e}{x}\,dx $$

$$ S=\left.e^x\right|_0^1+\left.e\ln|x|\right|_1^e $$

$$ S=(e-1)+e(\ln e-\ln 1)=e-1+e=2e-1 $$

б) Найдём точку пересечения графиков:

$$\left(\frac13\right)^x=x^2+1$$

При $$x=0$$ имеем $$1=1$$, значит, графики пересекаются в точке $$x=0$$. На отрезке $$[0;2]$$ выше график $$y=x^2+1$$.

Тогда площадь фигуры:

$$ S=\int_0^2 \left(x^2+1-\left(\frac13\right)^x\right)\,dx $$

$$ S=\left(\frac{x^3}{3}+x-\frac{3^{-x}}{\ln 3}\right)\Bigg|_0^2 $$

$$ S=\left(\frac{8}{3}+2-\frac{1}{9\ln 3}\right)-\left(0+0-\frac{1}{\ln 3}\right) $$

$$ S=\frac{14}{3}+\frac{8}{9\ln 3} =\frac{2}{3}\left(7+\frac{4}{3\ln 3}\right) $$

Ответ

а) $$2e-1$$; б) $$\frac{2}{3}\left(7+\frac{4}{3\ln 3}\right)$$.