Упр.21.61 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: 21.61 а)y=1/x2, y=2x-1,x=2; б)y=1/корень x,y=2(x-1),x=4.

Подробный ответ

а) Найдём точку пересечения графиков:
$$\frac{1}{x^2}=2^x-1.$$
При $$x=1$$ получаем:
$$\frac{1}{1^2}=2^1-1,$$
значит, точка пересечения — $$x=1$$.
На отрезке $$[1;2]$$ сверху расположена функция $$y=2^x-1$$, снизу — $$y=\frac{1}{x^2}$$. Тогда
$$S=\int\limits_{1}^{2}\left(2^x-1-\frac{1}{x^2}\right)\,dx.$$
Вычислим интеграл:
$$S=\left(\frac{2^x}{\ln 2}-x+\frac{1}{x}\right)\Bigg|_{1}^{2}.$$
Подставим пределы:
$$S=\left(\frac{4}{\ln 2}-2+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{2}{\ln 2}-1+1\right) =\frac{2}{\ln 2}-\frac{3}{2}.$$
б) Найдём точку пересечения графиков:
$$\frac{1}{\sqrt{x}}=2^{x-1}.$$
При $$x=1$$ получаем:
$$\frac{1}{\sqrt{1}}=2^{1-1},$$
значит, точка пересечения — $$x=1$$.
На отрезке $$[1;4]$$ сверху расположена функция $$y=2^{x-1}$$, снизу — $$y=\frac{1}{\sqrt{x}}$$. Тогда
$$S=\int\limits_{1}^{4}\left(2^{x-1}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\,dx =\int\limits_{1}^{4}\left(\frac{2^x}{2}-x^{-1/2}\right)\,dx.$$
Вычислим интеграл:
$$S=\left(\frac{2^x}{2\ln 2}-2\sqrt{x}\right)\Bigg|_{1}^{4}.$$
Подставим пределы:
$$S=\left(\frac{16}{2\ln 2}-4\right)-\left(\frac{2}{2\ln 2}-2\right) =\frac{7}{\ln 2}-2.$$