Упр.21.60 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.60 а)y=2x,y=3-x,y=0,x-0; б)y=3x,y=5-2x,y=0,x=0.

1. а) Фигура ограничена графиками $$y=2^x,$$ $$y=3-x,$$ $$y=0,$$ $$x=0.$$

   Точка пересечения графиков $$y=2^x$$ и $$y=3-x$$ находится из уравнения

   $$2^x=3-x.$$

   Подходит $$x=1,$$ так как $$2^1=2$$ и $$3-1=2.$$

   Тогда площадь равна сумме двух интегралов:

   $$ S=\int\limits_0^1 2^x\,dx+\int\limits_1^3 (3-x)\,dx. $$

   Вычислим:

   $$ \int\limits_0^1 2^x\,dx=\left.\frac{2^x}{\ln 2}\right|_0^1=\frac{2-1}{\ln 2}=\frac{1}{\ln 2}, $$

   $$ \int\limits_1^3 (3-x)\,dx=\left.(3x-\frac{x^2}{2})\right|_1^3 =\left(9-\frac{9}{2}\right)-\left(3-\frac{1}{2}\right)=2. $$

   Следовательно,

   $$S=2+\frac{1}{\ln 2}.$$

2. б) Фигура ограничена графиками $$y=3^x,$$ $$y=5-2x,$$ $$y=0,$$ $$x=0.$$

   Точка пересечения графиков $$y=3^x$$ и $$y=5-2x$$ находится из уравнения

   $$3^x=5-2x.$$

   Подходит $$x=1,$$ так как $$3^1=3$$ и $$5-2\cdot 1=3.$$

   Тогда площадь равна

   $$ S=\int\limits_0^1 3^x\,dx+\int\limits_1^{2.5} (5-2x)\,dx. $$

   Вычислим:

   $$ \int\limits_0^1 3^x\,dx=\left.\frac{3^x}{\ln 3}\right|_0^1=\frac{3-1}{\ln 3}=\frac{2}{\ln 3}, $$

   $$ \int\limits_1^{2.5} (5-2x)\,dx=\left.(5x-x^2)\right|_1^{2.5} =\left(12.5-6.25\right)-\left(5-1\right)=2.25. $$

   Следовательно,

   $$S=2.25+\frac{2}{\ln 3}.$$

Ответ

а) $$2+\frac{1}{\ln 2}$$; б) $$2.25+\frac{2}{\ln 3}$$.