Упр.21.6 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.6 а)интеграл (-1;0) ((x2-2x)(3-2x))/(x-2) dx; б)интеграл (0;3) ((x2-4x)(x2-1))/(x2+x-2) dx; в)интеграл (2;3) ((x2-3x+2)(2+x)/(x-1) dx; г)интеграл (-1;1) ((9-x2)(x2-16)/(x2-7x+12) dx/

Подробный ответ

а)

$$ \int_{-1}^{0}\frac{(x^2-2x)(3-2x)}{x-2}\,dx = \int_{-1}^{0}\frac{x(x-2)(3-2x)}{x-2}\,dx = \int_{-1}^{0}(3x-2x^2)\,dx $$
$$ = \left(\frac{3x^2}{2}-\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_{-1}^{0} = -\left(\frac{3\cdot(-1)^2}{2}-\frac{2\cdot(-1)^3}{3}\right) = -\frac{3}{2}-\frac{2}{3} = -\frac{13}{6}. $$

б)

$$ \int_{2}^{3}\frac{(x^2-4)(x^2-1)}{x^2+x-2}\,dx = \int_{2}^{3}\frac{(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)}{(x+2)(x-1)}\,dx $$
$$ = \int_{2}^{3}(x-2)(x+1)\,dx = \int_{2}^{3}(x^2-x-2)\,dx $$
$$ = \left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-2x\right)\Bigg|_{2}^{3} = \left(9-\frac{9}{2}-6\right)-\left(\frac{8}{3}-2-4\right) = \frac{11}{6}. $$

в)

$$ \int_{2}^{3}\frac{(x^2-3x+2)(2+x)}{x-1}\,dx = \int_{2}^{3}\frac{(x-2)(x-1)(x+2)}{x-1}\,dx $$
$$ = \int_{2}^{3}(x-2)(x+2)\,dx = \int_{2}^{3}(x^2-4)\,dx $$
$$ = \left(\frac{x^3}{3}-4x\right)\Bigg|_{2}^{3} = \left(9-12\right)-\left(\frac{8}{3}-8\right) = \frac{7}{3}. $$

г)

$$ \int_{-1}^{1}\frac{(9-x^2)(x^2-16)}{x^2-7x+12}\,dx = \int_{-1}^{1}\frac{(3-x)(3+x)(x-4)(x+4)}{(x-4)(x-3)}\,dx $$
$$ = \int_{-1}^{1}-(x+3)(x+4)\,dx = -\int_{-1}^{1}(x^2+7x+12)\,dx $$
$$ = -\left(\frac{x^3}{3}+\frac{7x^2}{2}+12x\right)\Bigg|_{-1}^{1} = -\left(\frac{1}{3}+\frac{7}{2}+12-\left(-\frac{1}{3}+\frac{7}{2}-12\right)\right) = -\frac{74}{3}. $$