Упр.21.59 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.59 а)y=ex,y=1/x,x=2,x-3; б)y=1/x,y=1,x=5; в)y=корень x,y=1/x,x=4; г)y=-1/x,y=-1,x=e.
а) $$y=e^x,\quad y=\frac1x,\quad x=2,\quad x=3.$$
На отрезке $$[2;3]$$ имеем $$e^x \ge \frac1x,$$ поэтому
$$S=\int_2^3\left(e^x-\frac1x\right)\,dx=\left(e^x-\ln|x|\right)\Big|_2^3.$$
$$S=(e^3-\ln 3)-(e^2-\ln 2)=e^3-e^2+\ln\frac23.$$
б) $$y=\frac1x,\quad y=1,\quad x=5.$$
На отрезке $$[1;5]$$ имеем $$\frac1x\le 1,$$ поэтому
$$S=\int_1^5\left(1-\frac1x\right)\,dx=\left(x-\ln|x|\right)\Big|_1^5.$$
$$S=(5-\ln 5)-(1-\ln 1)=5-\ln 5-1=4-\ln 5.$$
в) $$y=\sqrt{x},\quad y=\frac1x,\quad x=4.$$
На отрезке $$[1;4]$$ имеем $$\sqrt{x}\ge \frac1x,$$ поэтому
$$S=\int_1^4\left(\sqrt{x}-\frac1x\right)\,dx=\int_1^4\left(x^{1/2}-\frac1x\right)\,dx.$$
$$S=\left(\frac{2}{3}x^{3/2}-\ln|x|\right)\Big|_1^4.$$
$$S=\left(\frac{2}{3}\cdot 4^{3/2}-\ln 4\right)-\left(\frac{2}{3}\cdot 1^{3/2}-\ln 1\right)=\frac{16}{3}-\ln 4-\frac23=\frac{14}{3}-\ln 4.$$
г) $$y=-\frac1x,\quad y=-1,\quad x=e.$$
На отрезке $$[1;e]$$ имеем $$-\frac1x\ge -1,$$ поэтому
$$S=\int_1^e\left(-\frac1x-(-1)\right)\,dx=\int_1^e\left(1-\frac1x\right)\,dx.$$
$$S=\left(x-\ln|x|\right)\Big|_1^e=(e-\ln e)-(1-\ln 1)=e-1-1=e-2.$$
Ответ
а) $$e^3-e^2+\ln\frac23$$; б) $$4-\ln 5$$; в) $$\frac{14}{3}-\ln 4$$; г) $$e-2$$.
