Упр.21.58 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.58 а)y=0,x=1,x=e,y=1/x; б)y=0,x=3,x=-1,y=1/(2x+3); в)y=0,x=e,x=e2,y=2/x; г)y=0,x=2,x=5,y=1/(3x-5).
а) $$y=\frac{1}{x},\ y=0,\ x=1,\ x=e$$
На отрезке $$[1;e]$$ функция $$\frac{1}{x}$$ положительна, поэтому площадь равна
$$ S=\int\limits_{1}^{e}\frac{dx}{x}=\ln|x|\Big|_{1}^{e}=\ln e-\ln 1=1-0=1. $$
б) $$y=\frac{1}{2x+3},\ y=0,\ x=-1,\ x=3$$
На отрезке $$[-1;3]$$ функция $$\frac{1}{2x+3}$$ положительна, значит
$$ S=\int\limits_{-1}^{3}\frac{dx}{2x+3} =\frac12\ln|2x+3|\Big|_{-1}^{3} =\frac12\ln 9-\frac12\ln 1 =\frac12\ln 9=\ln 3. $$
в) $$y=\frac{2}{x},\ y=0,\ x=e,\ x=e^2$$
На отрезке $$[e;e^2]$$ функция $$\frac{2}{x}$$ положительна, поэтому
$$ S=\int\limits_{e}^{e^2}\frac{2\,dx}{x} =2\ln|x|\Big|_{e}^{e^2} =2\ln e^2-2\ln e =2\cdot 2-2\cdot 1=2. $$
г) $$y=\frac{1}{3x-5},\ y=0,\ x=2,\ x=5$$
На отрезке $$[2;5]$$ функция $$\frac{1}{3x-5}$$ положительна, значит
$$ S=\int\limits_{2}^{5}\frac{dx}{3x-5} =\frac13\ln|3x-5|\Big|_{2}^{5} =\frac13\ln 10-\frac13\ln 1 =\frac13\ln 10. $$
Ответ
а) $$1$$; б) $$\ln 3$$; в) $$2$$; г) $$\frac13\ln 10$$.
