Упр.21.57 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.57 а)x=1,y=ex,y=e^-x; б)y=1/ex,y=1,x=-1; в)y=ex,x=2,x+2y=2; г)y=ex,x=2,x=0,y=-ex.

Подробный ответ

а) $$y=e^x,\; y=e^{-x},\; x=1.$$
Точка пересечения графиков $$y=e^x$$ и $$y=e^{-x}$$ находится из уравнения
$$e^x=e^{-x} \Rightarrow x=0.$$
На отрезке $$[0;1]$$ сверху расположена функция $$y=e^x$$, снизу — $$y=e^{-x}$$. Тогда
$$ S=\int_0^1 \left(e^x-e^{-x}\right)\,dx =\left(e^x+e^{-x}\right)\Big|_0^1 =\left(e+\frac1e\right)-2 =\frac{(e-1)^2}{e}. $$
б) $$y=\frac1{e^x},\; y=1,\; x=-1.$$
Имеем $$\frac1{e^x}=e^{-x}$$. Точка пересечения с прямой $$y=1$$:
$$e^{-x}=1 \Rightarrow x=0.$$
На отрезке $$[-1;0]$$ сверху находится график $$y=e^{-x}$$, снизу — $$y=1$$. Тогда
$$ S=\int_{-1}^0 \left(e^{-x}-1\right)\,dx =\left(-e^{-x}-x\right)\Big|_{-1}^0 =e-2. $$
в) $$y=e^x,\; x+2y=2,\; x=2.$$
Из уравнения прямой:
$$2y=2-x,\qquad y=1-\frac{x}{2}.$$
На отрезке $$[0;2]$$ сверху расположена функция $$y=e^x$$, снизу — $$y=1-\frac{x}{2}$$. Тогда
$$ S=\int_0^2 \left(e^x-\left(1-\frac{x}{2}\right)\right)\,dx =\int_0^2 \left(e^x-1+\frac{x}{2}\right)\,dx. $$
$$ S=\left(e^x-x+\frac{x^2}{4}\right)\Big|_0^2 =(e^2-2+1)-1=e^2-2. $$
г) $$y=e^x,\; y=e^{-x},\; x=0,\; x=2.$$
На отрезке $$[0;2]$$ сверху находится $$y=e^x$$, снизу — $$y=e^{-x}$$. Тогда
$$ S=\int_0^2 \left(e^x-e^{-x}\right)\,dx =\left(e^x+e^{-x}\right)\Big|_0^2 =e^2+\frac1{e^2}-2. $$
Так как $$e^2+\frac1{e^2}-2=\left(e-\frac1e\right)^2,$$ получаем
$$S=\left(e-\frac1e\right)^2.$$