Упр.21.55 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.55 а)y=2-корень x,y=корень x,3x+5y=22; б)y=корень x,y=3-2 корень x, 4x-5y-21=0.

а) Найдём точки пересечения графиков.

Из уравнения прямой $$3x+5y=22$$ получаем

$$y=4{,}4-0{,}6x.$$

Точки пересечения:

$$\sqrt{x}=2-\sqrt{x} \Rightarrow 2\sqrt{x}=2 \Rightarrow x=1,\quad y=1;$$

$$\sqrt{x}=4{,}4-0{,}6x \Rightarrow x=4,\quad y=2;$$

$$2-\sqrt{x}=4{,}4-0{,}6x \Rightarrow x=9,\quad y=-1.$$

Тогда площадь фигуры равна

$$ S=\int\limits_{1}^{4}\bigl(\sqrt{x}-(2-\sqrt{x})\bigr)\,dx+\int\limits_{4}^{9}\bigl((4{,}4-0{,}6x)-(2-\sqrt{x})\bigr)\,dx. $$

Упростим:

$$ S=\int\limits_{1}^{4}(2\sqrt{x}-2)\,dx+\int\limits_{4}^{9}(2{,}4-0{,}6x+\sqrt{x})\,dx. $$

Вычислим:

$$ S=\left(\frac{4}{3}x^{3/2}-2x\right)\Bigg|_{1}^{4}+\left(2{,}4x-0{,}3x^2+\frac{2}{3}x^{3/2}\right)\Bigg|_{4}^{9}=8{,}5. $$

б) Из уравнения прямой $$4x-5y-21=0$$ получаем

$$y=0{,}8x-4{,}2.$$

Точки пересечения:

$$\sqrt{x}=3-2\sqrt{x} \Rightarrow 3\sqrt{x}=3 \Rightarrow x=1,\quad y=1;$$

$$\sqrt{x}=0{,}8x-4{,}2 \Rightarrow x=9,\quad y=3;$$

$$3-2\sqrt{x}=0{,}8x-4{,}2 \Rightarrow x=4,\quad y=-1.$$

Площадь фигуры:

$$ S=\int\limits_{1}^{4}\bigl(\sqrt{x}-(3-2\sqrt{x})\bigr)\,dx+\int\limits_{4}^{9}\bigl(\sqrt{x}-(0{,}8x-4{,}2)\bigr)\,dx. $$

Упростим:

$$ S=\int\limits_{1}^{4}(3\sqrt{x}-3)\,dx+\int\limits_{4}^{9}(\sqrt{x}-0{,}8x+4{,}2)\,dx. $$

Вычисляем:

$$ S=\left(2x^{3/2}-3x\right)\Bigg|_{1}^{4}+\left(\frac{2}{3}x^{3/2}-0{,}4x^2+4{,}2x\right)\Bigg|_{4}^{9}=12\frac{2}{3}. $$

Ответ

а) $$8{,}5$$; б) $$12\frac{2}{3}$$.