Упр.21.54 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Вычислите площадь фигуры,ограниченной линиями: 21.54 а)y=корень x, y=-2 корень x, x=4; б)y=2 корень x, y=-корень x, x=9.

а) Найдём точки пересечения графиков:

$$\sqrt{x}=-2\sqrt{x}$$

$$3\sqrt{x}=0$$

$$x=0.$$

На отрезке $$[0;4]$$ верхняя кривая задаётся функцией $$y=\sqrt{x}$$, нижняя — функцией $$y=-2\sqrt{x}$$. Тогда площадь фигуры:

$$ S=\int\limits_0^4 \left(\sqrt{x}-(-2\sqrt{x})\right)\,dx =\int\limits_0^4 3\sqrt{x}\,dx =3\int\limits_0^4 x^{1/2}\,dx. $$

$$ S=3\cdot \frac{2}{3}x^{3/2}\Big|_0^4 =2x^{3/2}\Big|_0^4 =2\cdot 4^{3/2}-2\cdot 0^{3/2} =2\cdot 8=16. $$

б) Найдём точки пересечения:

$$2\sqrt{x}=-\sqrt{x}$$

$$3\sqrt{x}=0$$

$$x=0.$$

На отрезке $$[0;9]$$ верхняя кривая задаётся функцией $$y=2\sqrt{x}$$, нижняя — функцией $$y=-\sqrt{x}$$. Тогда площадь фигуры:

$$ S=\int\limits_0^9 \left(2\sqrt{x}-(-\sqrt{x})\right)\,dx =\int\limits_0^9 3\sqrt{x}\,dx =3\int\limits_0^9 x^{1/2}\,dx. $$

$$ S=3\cdot \frac{2}{3}x^{3/2}\Big|_0^9 =2x^{3/2}\Big|_0^9 =2\cdot 9^{3/2}-2\cdot 0^{3/2} =2\cdot 27=54. $$

Ответ

а) $$16$$; б) $$54$$.