Упр.21.53 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.53 а)y=0,x=4,y=корень x; б)y=1,x=0,y=корень 3 степени x; в)y=0,x=1,x=3,y=1/x2; г)y=2,x=0,y=корень x.

1. а) Фигура ограничена графиком $$y=\sqrt{x}$$, осью $$Ox$$ и прямой $$x=4$$.

   Тогда площадь равна

   $$ S=\int_0^4 \sqrt{x}\,dx=\int_0^4 x^{1/2}\,dx=\left.\frac{2}{3}x^{3/2}\right|_0^4 $$

   $$ S=\frac{2}{3}\cdot 4^{3/2}=\frac{2}{3}\cdot 8=\frac{16}{3}=5\frac{1}{3}. $$

2. б) Фигура ограничена графиком $$y=\sqrt[3]{x}$$, прямой $$y=1$$ и осью $$Oy$$.

   Точка пересечения графиков:

   $$ \sqrt[3]{x}=1 \Rightarrow x=1. $$

   На отрезке $$[0;1]$$ имеем $$1\ge \sqrt[3]{x}$$, поэтому

   $$ S=\int_0^1 \left(1-\sqrt[3]{x}\right)\,dx =\int_0^1 \left(1-x^{1/3}\right)\,dx $$

   $$ S=\left.x-\frac{3}{4}x^{4/3}\right|_0^1 =1-\frac{3}{4} =\frac{1}{4}. $$

3. в) Фигура ограничена графиком $$y=\frac{1}{x^2}$$, осью $$Ox$$ и прямыми $$x=1$$, $$x=3$$.

   На отрезке $$[1;3]$$ функция положительна, значит

   $$ S=\int_1^3 \frac{1}{x^2}\,dx=\int_1^3 x^{-2}\,dx =\left.-\frac{1}{x}\right|_1^3 $$

   $$ S=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}. $$

4. г) Фигура ограничена графиком $$y=\sqrt{x}$$, прямой $$y=2$$ и осью $$Oy$$.

   Точка пересечения графиков:

   $$ \sqrt{x}=2 \Rightarrow x=4. $$

   На отрезке $$[0;4]$$ имеем $$2\ge \sqrt{x}$$, поэтому

   $$ S=\int_0^4 \left(2-\sqrt{x}\right)\,dx =\int_0^4 \left(2-x^{1/2}\right)\,dx $$

   $$ S=\left. \left(2x-\frac{2}{3}x^{3/2}\right)\right|_0^4 =8-\frac{2}{3}\cdot 8 =8-\frac{16}{3} =\frac{8}{3}. $$

Ответ

а) $$\frac{16}{3}$$; б) $$\frac{1}{4}$$; в) $$\frac{2}{3}$$; г) $$\frac{8}{3}$$.