Упр.21.52 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.52. а) У = 2cos3x — 3sin2x + 6, у = 0, х = 0, х = Пи/6; б) у = 2 sin 4x + 3cos2x + 7, у = 0, х = Пи/4, х = 5Пи/4.

Подробный ответ

а) Площадь фигуры равна определённому интегралу:

$$S=\int_0^{\pi/6}\left(2\cos 3x-3\sin 2x+6\right)\,dx.$$

Найдём первообразную:

$$\int \left(2\cos 3x-3\sin 2x+6\right)\,dx=\frac{2}{3}\sin 3x+\frac{3}{2}\cos 2x+6x.$$

Тогда

$$ S=\left(\frac{2}{3}\sin 3x+\frac{3}{2}\cos 2x+6x\right)\Bigg|_0^{\pi/6}. $$

Подставим пределы:

$$ S=\left(\frac{2}{3}\sin\frac{\pi}{2}+\frac{3}{2}\cos\frac{\pi}{3}+\pi\right)-\left(\frac{2}{3}\sin 0+\frac{3}{2}\cos 0\right). $$

$$ S=\left(\frac{2}{3}\cdot 1+\frac{3}{2}\cdot \frac12+\pi\right)-\left(0+\frac{3}{2}\cdot 1\right) =\pi-\frac{1}{12}. $$

б)

$$S=\int_{\pi/4}^{5\pi/4}\left(2\sin 4x+3\cos 2x+7\right)\,dx.$$

Первообразная:

$$\int \left(2\sin 4x+3\cos 2x+7\right)\,dx=-\frac12\cos 4x+\frac32\sin 2x+7x.$$

Тогда

$$ S=\left(-\frac12\cos 4x+\frac32\sin 2x+7x\right)\Bigg|_{\pi/4}^{5\pi/4}. $$

Подставим пределы:

$$ S=\left(-\frac12\cos 5\pi+\frac32\sin\frac{5\pi}{2}+\frac{35\pi}{4}\right) -\left(-\frac12\cos \pi+\frac32\sin\frac{\pi}{2}+\frac{7\pi}{4}\right). $$

$$ S=\left(-\frac12\cdot(-1)+\frac32\cdot 1+\frac{35\pi}{4}\right) -\left(-\frac12\cdot(-1)+\frac32\cdot 1+\frac{7\pi}{4}\right) =7\pi. $$