Упр.21.51 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.51 а)y=cosx, y=-x, x=0, x=Пи/2; б)y=sin2x,y=x-Пи/2, x=0; в)y=sinx,y=-x,x=0,x=Пи/2; г)y=cos(x/2), y=x-Пи; x=0, x=Пи.
а) $$y=\cos x,\quad y=-x,\quad x=0,\quad x=\frac{\pi}{2}$$
На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ сверху расположена кривая $$y=\cos x$$, снизу — прямая $$y=-x$$. Тогда
$$ S=\int\limits_{0}^{\pi/2}(\cos x-(-x))\,dx=\int\limits_{0}^{\pi/2}(\cos x+x)\,dx. $$
$$ S=\left(\sin x+\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_{0}^{\pi/2} =\sin\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)^2-\sin 0 =1+\frac{\pi^2}{8}. $$
б) $$y=\sin 2x,\quad y=x-\frac{\pi}{2},\quad x=0$$
Площадь фигуры равна
$$ S=\int\limits_{0}^{\pi/2}\left(\sin 2x-\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\right)\,dx =\int\limits_{0}^{\pi/2}\left(\sin 2x-x+\frac{\pi}{2}\right)\,dx. $$
$$ S=\left(-\frac{1}{2}\cos 2x-\frac{x^2}{2}+\frac{\pi}{2}x\right)\Bigg|_{0}^{\pi/2} =\left(\frac{1}{2}-\frac{\pi^2}{8}+\frac{\pi^2}{4}\right)-\left(-\frac{1}{2}\right) =1+\frac{\pi^2}{8}. $$
в) $$y=\sin x,\quad y=-x,\quad x=0,\quad x=\frac{\pi}{2}$$
На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ сверху находится $$y=\sin x$$, снизу — $$y=-x$$. Тогда
$$ S=\int\limits_{0}^{\pi/2}(\sin x-(-x))\,dx=\int\limits_{0}^{\pi/2}(\sin x+x)\,dx. $$
$$ S=\left(-\cos x+\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_{0}^{\pi/2} =\left(0+\frac{\pi^2}{8}\right)-(-1) =1+\frac{\pi^2}{8}. $$
г) $$y=\cos\frac{x}{2},\quad y=x-\pi,\quad x=0,\quad x=\pi$$
На отрезке $$[0;\pi]$$ сверху график $$y=\cos\frac{x}{2}$$, снизу прямая $$y=x-\pi$$. Тогда
$$ S=\int\limits_{0}^{\pi}\left(\cos\frac{x}{2}-(x-\pi)\right)\,dx =\int\limits_{0}^{\pi}\left(\cos\frac{x}{2}-x+\pi\right)\,dx. $$
$$ S=\left(2\sin\frac{x}{2}-\frac{x^2}{2}+\pi x\right)\Bigg|_{0}^{\pi} =\left(2-\frac{\pi^2}{2}+\pi^2\right)-0 =2+\frac{\pi^2}{2}. $$
Ответ
а) $$1+\frac{\pi^2}{8}$$; б) $$1+\frac{\pi^2}{8}$$; в) $$1+\frac{\pi^2}{8}$$; г) $$2+\frac{\pi^2}{2}$$.
