Упр.21.50 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.50. а) у = х2 — 4х, у = -(х — 4)2; б) у = х2 + 2х — 3, у = -х2 + 2х + 5; в) у = х2 — 6х + 9, у = (х + 1)(3 — х); г) у = х2 — 4х + 3, у = -х2 + 6х — 5.
а) $$y=x^2-4x,\quad y=-(x-4)^2$$
Найдём точки пересечения:
$$x^2-4x=-(x-4)^2$$
$$x^2-4x=-x^2+8x-16$$
$$2x^2-12x+16=0$$
$$x^2-6x+8=0$$
$$x_1=2,\quad x_2=4$$
На отрезке $$[2;4]$$ сверху находится график $$y=-(x-4)^2$$, поэтому
$$S=\int\limits_{2}^{4}\left( -(x-4)^2-(x^2-4x)\right)dx$$
$$S=\int\limits_{2}^{4}(12x-2x^2-16)\,dx$$
$$S=\left(6x^2-\frac{2x^3}{3}-16x\right)\Bigg|_{2}^{4}=\frac{8}{3}$$
б) $$y=x^2+2x-3,\quad y=-x^2+2x+5$$
Точки пересечения:
$$x^2+2x-3=-x^2+2x+5$$
$$2x^2-8=0$$
$$x^2=4,\quad x=\pm 2$$
На отрезке $$[-2;2]$$ сверху находится график $$y=-x^2+2x+5$$, значит
$$S=\int\limits_{-2}^{2}\left( (-x^2+2x+5)-(x^2+2x-3)\right)dx$$
$$S=\int\limits_{-2}^{2}(8-2x^2)\,dx$$
$$S=\left(8x-\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_{-2}^{2}=\frac{64}{3}$$
в) $$y=x^2-6x+9,\quad y=(x+1)(3-x)$$
Точки пересечения:
$$x^2-6x+9=(x+1)(3-x)$$
$$x^2-6x+9=-x^2+2x+3$$
$$2x^2-8x+6=0$$
$$x^2-4x+3=0$$
$$x_1=1,\quad x_2=3$$
На отрезке $$[1;3]$$ сверху находится график $$y=(x+1)(3-x)$$, поэтому
$$S=\int\limits_{1}^{3}\left( (x+1)(3-x)-(x^2-6x+9)\right)dx$$
$$S=\int\limits_{1}^{3}(8x-2x^2-6)\,dx$$
$$S=\left(4x^2-\frac{2x^3}{3}-6x\right)\Bigg|_{1}^{3}=\frac{8}{3}$$
г) $$y=x^2-4x+3,\quad y=-x^2+6x-5$$
Точки пересечения:
$$x^2-4x+3=-x^2+6x-5$$
$$2x^2-10x+8=0$$
$$x^2-5x+4=0$$
$$x_1=1,\quad x_2=4$$
На отрезке $$[1;4]$$ сверху находится график $$y=-x^2+6x-5$$, значит
$$S=\int\limits_{1}^{4}\left( (-x^2+6x-5)-(x^2-4x+3)\right)dx$$
$$S=\int\limits_{1}^{4}(10x-2x^2-8)\,dx$$
$$S=\left(5x^2-\frac{2x^3}{3}-8x\right)\Bigg|_{1}^{4}=9$$
Ответ
а) $$\frac{8}{3}$$; б) $$\frac{64}{3}$$; в) $$\frac{8}{3}$$; г) $$9$$.
