Упр.21.49 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.49. а) у = 1 — х2, у = -х — 1; б) у = х2 — 3х + 2, у = х — 1; в) у = х2 — 1, у = 2х + 2; г) у = -х2 + 2х + 3, у = 3-х.

Подробный ответ

а) $$y=1-x^2,\quad y=-x-1$$
Найдём точки пересечения:
$$1-x^2=-x-1$$
$$x^2-x-2=0$$
$$x_1=-1,\quad x_2=2$$
На отрезке $$[-1;2]$$ сверху расположена парабола $$y=1-x^2$$, снизу — прямая $$y=-x-1$$.
Тогда
$$ S=\int_{-1}^{2}\bigl((1-x^2)-(-x-1)\bigr)\,dx =\int_{-1}^{2}(-x^2+x+2)\,dx $$
$$ S=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_{-1}^{2} =\frac{9}{2} $$
б) $$y=x^2-3x+2,\quad y=x-1$$
Точки пересечения:
$$x^2-3x+2=x-1$$
$$x^2-4x+3=0$$
$$x_1=1,\quad x_2=3$$
На отрезке $$[1;3]$$ сверху прямая $$y=x-1$$, снизу парабола $$y=x^2-3x+2$$.
Тогда
$$ S=\int_{1}^{3}\bigl((x-1)-(x^2-3x+2)\bigr)\,dx =\int_{1}^{3}(-x^2+4x-3)\,dx $$
$$ S=\left(-\frac{x^3}{3}+2x^2-3x\right)\Bigg|_{1}^{3} =\frac{4}{3} $$
в) $$y=x^2-1,\quad y=2x+2$$
Точки пересечения:
$$x^2-1=2x+2$$
$$x^2-2x-3=0$$
$$x_1=-1,\quad x_2=3$$
На отрезке $$[-1;3]$$ сверху прямая $$y=2x+2$$, снизу парабола $$y=x^2-1$$.
Тогда
$$ S=\int_{-1}^{3}\bigl((2x+2)-(x^2-1)\bigr)\,dx =\int_{-1}^{3}(-x^2+2x+3)\,dx $$
$$ S=\left(-\frac{x^3}{3}+x^2+3x\right)\Bigg|_{-1}^{3} =\frac{32}{3} $$
г) $$y=-x^2+2x+3,\quad y=3-x$$
Точки пересечения:
$$-x^2+2x+3=3-x$$
$$x^2-3x=0$$
$$x(x-3)=0$$
$$x_1=0,\quad x_2=3$$
На отрезке $$[0;3]$$ сверху парабола $$y=-x^2+2x+3$$, снизу прямая $$y=3-x$$.
Тогда
$$ S=\int_{0}^{3}\bigl((-x^2+2x+3)-(3-x)\bigr)\,dx =\int_{0}^{3}(-x^2+3x)\,dx $$
$$ S=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}\right)\Bigg|_{0}^{3} =\frac{9}{2} $$