Упр.21.48 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.48. а) у = х, у = -0,5x + 5, х = -1, х — 3; б) у = 2х, у = х — 2, х = 4; в) у = -x, у= 3-x/4, x=-2, х= 1; г) у = 1 — х, у = 3 — 2х, х = 0.
Найдём точки пересечения прямых и вычислим площадь как интеграл разности верхней и нижней функций.
а) $$y=x,$$ $$y=-0{,}5x+5,$$ $$x=-1,$$ $$x=3.$$
На отрезке $$[-1;3]$$ верхняя функция $$y=-0{,}5x+5,$$ нижняя — $$y=x.$$ Тогда
$$ S=\int_{-1}^{3}\bigl((-0{,}5x+5)-x\bigr)\,dx =\int_{-1}^{3}\left(-\frac{3}{2}x+5\right)\,dx. $$
$$ S=\left(-\frac{3}{4}x^2+5x\right)\Big|_{-1}^{3} =\left(-\frac{27}{4}+15\right)-\left(-\frac{3}{4}-5\right)=14. $$
б) $$y=2x,$$ $$y=x-2,$$ $$x=4.$$
На отрезке $$[-2;4]$$ верхняя функция $$y=2x,$$ нижняя — $$y=x-2.$$ Тогда
$$ S=\int_{-2}^{4}\bigl(2x-(x-2)\bigr)\,dx =\int_{-2}^{4}(x+2)\,dx. $$
$$ S=\left(\frac{x^2}{2}+2x\right)\Big|_{-2}^{4} =\left(8+8\right)-\left(2-4\right)=18. $$
в) $$y=-x,$$ $$y=3-\frac{x}{4},$$ $$x=-2,$$ $$x=1.$$
На отрезке $$[-2;1]$$ верхняя функция $$y=3-\frac{x}{4},$$ нижняя — $$y=-x.$$ Тогда
$$ S=\int_{-2}^{1}\left(\left(3-\frac{x}{4}\right)-(-x)\right)\,dx =\int_{-2}^{1}\left(3+\frac{3x}{4}\right)\,dx. $$
$$ S=\left(3x+\frac{3}{8}x^2\right)\Big|_{-2}^{1} =\left(3+\frac{3}{8}\right)-\left(-6+\frac{3}{2}\right) =\frac{63}{8}. $$
г) $$y=1-x,$$ $$y=3-2x,$$ $$x=0.$$
Точка пересечения прямых: $$1-x=3-2x,$$ откуда $$x=2.$$ На отрезке $$[0;2]$$ верхняя функция $$y=3-2x,$$ нижняя — $$y=1-x.$$ Тогда
$$ S=\int_{0}^{2}\bigl((3-2x)-(1-x)\bigr)\,dx =\int_{0}^{2}(2-x)\,dx. $$
$$ S=\left(2x-\frac{x^2}{2}\right)\Big|_{0}^{2}=4-2=2. $$
Ответ
а) $$14$$; б) $$18$$; в) $$\frac{63}{8}$$; г) $$2$$.
