Упр.21.47 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Вычислите плозадь фигуры ограниченной линиями: 21.47 а)y=1+1/2 cosx, y=0,x=-Пи/2, x=Пи/2; б)y=1-sin2x, y=0,x=0,x=Пи; в)y=1+2sinx, y=0, x=0, x=Пи/2; г)y=2cos(x/2), y=0, x=0, x=2Пи/3.

1. а) $$y=1+\frac12\cos x,\quad y=0,\quad x=-\frac{\pi}{2},\quad x=\frac{\pi}{2}.$$

   На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ функция неотрицательна, поэтому

   $$ S=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(1+\frac12\cos x\right)\,dx =\left(x+\frac12\sin x\right)\Bigg|_{-\pi/2}^{\pi/2}. $$

   $$ S=\left(\frac{\pi}{2}+\frac12\sin\frac{\pi}{2}\right)-\left(-\frac{\pi}{2}+\frac12\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) =\frac{\pi}{2}+\frac12+\frac{\pi}{2}+\frac12=\pi+1. $$

2. б) $$y=1-\sin 2x,\quad y=0,\quad x=0,\quad x=\pi.$$

   На отрезке $$[0;\pi]$$ имеем $$1-\sin 2x\ge 0$$, значит

   $$ S=\int_0^\pi (1-\sin 2x)\,dx =\left(x+\frac12\cos 2x\right)\Bigg|_0^\pi. $$

   $$ S=\left(\pi+\frac12\cos 2\pi\right)-\left(0+\frac12\cos 0\right) =\pi+\frac12-\frac12=\pi. $$

3. в) $$y=1+2\sin x,\quad y=0,\quad x=0,\quad x=\frac{\pi}{2}.$$

   На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ функция неотрицательна, поэтому

   $$ S=\int_0^{\pi/2}(1+2\sin x)\,dx =\left(x-2\cos x\right)\Bigg|_0^{\pi/2}. $$

   $$ S=\left(\frac{\pi}{2}-2\cos\frac{\pi}{2}\right)-\left(0-2\cos 0\right) =\frac{\pi}{2}+2. $$

4. г) $$y=2\cos\frac{x}{2},\quad y=0,\quad x=0,\quad x=\frac{2\pi}{3}.$$

   На отрезке $$\left[0;\frac{2\pi}{3}\right]$$ функция неотрицательна, значит

   $$ S=\int_0^{2\pi/3}2\cos\frac{x}{2}\,dx =\left(4\sin\frac{x}{2}\right)\Bigg|_0^{2\pi/3}. $$

   $$ S=4\sin\frac{\pi}{3}-4\sin 0 =4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3. $$

Ответ

а) $$\pi+1$$; б) $$\pi$$; в) $$\frac{\pi}{2}+2$$; г) $$2\sqrt3$$.