Упр.21.46 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.46. а) У = sinx, y=9,x= Пи/2; б) У = cos 2х, у = 0 , x=-Пи/6; x=Пи/6; в) У = cos x,y=0,x=- Пи/4, x=Пи/4; г) У = sin (x/2), y=0,x=Пи/2, x=Пи.

1. а) $$y=\sin x,\quad y=0,\quad x=\frac{\pi}{2}.$$

   На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ функция $$\sin x \ge 0$$, поэтому площадь равна

   $$ S=\int\limits_{0}^{\pi/2}\sin x\,dx=-\cos x\Big|_{0}^{\pi/2} =-\cos\frac{\pi}{2}+\cos 0=1. $$

2. б) $$y=\cos 2x,\quad y=0,\quad x=-\frac{\pi}{6},\quad x=\frac{\pi}{6}.$$

   На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{6}\right]$$ функция $$\cos 2x \ge 0$$, значит

   $$ S=\int\limits_{-\pi/6}^{\pi/6}\cos 2x\,dx =\frac12\sin 2x\Big|_{-\pi/6}^{\pi/6} =\frac12\left(\sin\frac{\pi}{3}-\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right). $$

   $$ S=\frac12\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac{\sqrt3}{2}. $$

3. в) $$y=\cos x,\quad y=0,\quad x=-\frac{\pi}{4},\quad x=\frac{\pi}{4}.$$

   На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right]$$ функция $$\cos x \ge 0$$, поэтому

   $$ S=\int\limits_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos x\,dx =\sin x\Big|_{-\pi/4}^{\pi/4} =\sin\frac{\pi}{4}-\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right). $$

   $$ S=\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}=\sqrt2. $$

4. г) $$y=\sin\frac{x}{2},\quad y=0,\quad x=\frac{\pi}{2},\quad x=\pi.$$

   На отрезке $$\left[\frac{\pi}{2};\pi\right]$$ функция $$\sin\frac{x}{2}\ge 0$$, значит

   $$ S=\int\limits_{\pi/2}^{\pi}\sin\frac{x}{2}\,dx =-2\cos\frac{x}{2}\Big|_{\pi/2}^{\pi} =-2\cos\frac{\pi}{2}+2\cos\frac{\pi}{4}. $$

   $$ S=0+2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\sqrt2. $$

Ответ

а) $$1$$; б) $$\frac{\sqrt3}{2}$$; в) $$\sqrt2$$; г) $$\sqrt2$$.