Упр.21.45 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.45 а)y=1/x2, y=0,x=1,x=2; б)y=1/корень x,y=0,x=1,x=9; в)y=-1/x2,y=0,x=-1,x=-3; г)y=2/корень x,y=0,x=1,x=4.
а) $$y=\frac{1}{x^2},\quad y=0,\quad x=1,\quad x=2.$$
На отрезке $$[1;2]$$ функция положительна, поэтому
$$ S=\int\limits_{1}^{2}\frac{1}{x^2}\,dx=\int\limits_{1}^{2}x^{-2}\,dx=\left(-x^{-1}\right)\Big|_{1}^{2} =-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}. $$
б) $$y=\frac{1}{\sqrt{x}},\quad y=0,\quad x=1,\quad x=9.$$
На области определения $$x>0$$ функция положительна, значит
$$ S=\int\limits_{1}^{9}\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=\int\limits_{1}^{9}x^{-1/2}\,dx =\left(2\sqrt{x}\right)\Big|_{1}^{9}=2\cdot 3-2\cdot 1=4. $$
в) $$y=-\frac{1}{x^2},\quad y=0,\quad x=-1,\quad x=-3.$$
Функция отрицательна, поэтому площадь равна
$$ S=-\int\limits_{-3}^{-1}\left(-\frac{1}{x^2}\right)\,dx =\int\limits_{-3}^{-1}x^{-2}\,dx =\left(-x^{-1}\right)\Big|_{-3}^{-1} =1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}. $$
г) $$y=\frac{2}{\sqrt{x}},\quad y=0,\quad x=1,\quad x=4.$$
На области определения $$x>0$$ функция положительна, значит
$$ S=\int\limits_{1}^{4}\frac{2}{\sqrt{x}}\,dx=\int\limits_{1}^{4}2x^{-1/2}\,dx =\left(4\sqrt{x}\right)\Big|_{1}^{4}=4\cdot 2-4\cdot 1=4. $$
Ответ
а) $$\frac{1}{2}$$; б) $$4$$; в) $$\frac{2}{3}$$; г) $$4$$.
