Упр.21.44 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.44. а) у = х3 + 2, у = 0, х = 0, х = 2; б) y = -х2 + 4х, y = 0; в) у = 4 — х2, y = 0; г) у = -х3 + 1, у = 0, х = 0, х = -2.

1. а) $$y=x^3+2,\quad y=0,\quad x=0,\quad x=2.$$

   На отрезке $$[0;2]$$ функция положительна, поэтому

   $$ S=\int_0^2 (x^3+2)\,dx=\left(\frac{x^4}{4}+2x\right)\Bigg|_0^2 =\frac{16}{4}+4=8. $$

2. б) $$y=-x^2+4x,\quad y=0.$$

   Найдём точки пересечения с осью $$Ox$$:

   $$ -x^2+4x\ge 0 \\ x(x-4)\le 0 \\ 0\le x\le 4. $$

   Тогда

   $$ S=\int_0^4 (-x^2+4x)\,dx =\left(-\frac{x^3}{3}+2x^2\right)\Bigg|_0^4 =-\frac{64}{3}+32=\frac{32}{3}=10\frac{2}{3}. $$

3. в) $$y=4-x^2,\quad y=0.$$

   Точки пересечения с осью $$Ox$$:

   $$ 4-x^2\ge 0 \\ x^2\le 4 \\ -2\le x\le 2. $$

   Площадь фигуры:

   $$ S=\int_{-2}^{2} (4-x^2)\,dx =\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-2}^{2} =\frac{32}{3}=10\frac{2}{3}. $$

4. г) $$y=-x^3+1,\quad y=0,\quad x=0,\quad x=-2.$$

   На отрезке $$[-2;0]$$ функция положительна, поэтому

   $$ S=\int_{-2}^{0} (-x^3+1)\,dx =\left(-\frac{x^4}{4}+x\right)\Bigg|_{-2}^{0} =0-\left(-\frac{16}{4}-2\right)=6. $$

Ответ

а) $$8$$; б) $$10\frac{2}{3}$$; в) $$10\frac{2}{3}$$; г) $$6$$.