Упр.21.42 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.42. Дан прямолинейный неоднородный стержень [0; l], его плотность в точке х определяется по формуле р = р(х). Найдите массу стержня, если: а) р(х) = х2 + х + 1, l = 6; б) p(x) = 1/(x+3)2 , l=3; в) р(x) = -х2 + 6х, l = 2; г) р(x) = 1/(2x+1)2, l=1.
Масса стержня находится по формуле
$$m=\int\limits_0^l \rho(x)\,dx.$$
а) $$\rho(x)=x^2+x+1,\quad l=6.$$
$$m=\int\limits_0^6 (x^2+x+1)\,dx =\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x\right)\Bigg|_0^6.$$
$$m=\frac{6^3}{3}+\frac{6^2}{2}+6=72+18+6=96.$$
б) $$\rho(x)=\frac{1}{(x+3)^2},\quad l=3.$$
$$m=\int\limits_0^3 \frac{1}{(x+3)^2}\,dx =\int\limits_0^3 (x+3)^{-2}\,dx =-\frac{1}{x+3}\Bigg|_0^3.$$
$$m=-\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{6}.$$
в) $$\rho(x)=-x^2+6x,\quad l=2.$$
$$m=\int\limits_0^2 (-x^2+6x)\,dx =\left(-\frac{x^3}{3}+3x^2\right)\Bigg|_0^2.$$
$$m=-\frac{8}{3}+12=\frac{28}{3}=9\frac{1}{3}.$$
г) $$\rho(x)=\frac{1}{(2x+1)^2},\quad l=1.$$
$$m=\int\limits_0^1 \frac{1}{(2x+1)^2}\,dx.$$
Сделаем замену: $$u=2x+1,\quad du=2\,dx,\quad dx=\frac{du}{2}.$$ Тогда
$$m=\frac{1}{2}\int\limits_1^3 u^{-2}\,du =\frac{1}{2}\left(-u^{-1}\right)\Bigg|_1^3 =-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-1\right)=\frac{1}{3}.$$
Ответ
а) $$96$$; б) $$\frac{1}{6}$$; в) $$9\frac{1}{3}$$; г) $$\frac{1}{3}$$.
