Упр.21.40 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.40. Материальная точка движется по прямой со скоростью, определяемой формулой v = v(t) (время измеряется в секундах, а скорость — в сантиметрах в секунду). Какой путь пройдет точка за 3 секунды, считая от начала движения (t = 0), если: а) v(t) = 3t2 -4t + 1; в) v(t) = 4t3 — 6t2; б) v(t) = 1/корень(5t+1) ; r) v(t) = 1/корень(7t+4)?
Путь за время от $$0$$ до $$3$$ секунд находим по формуле
$$l=\int\limits_0^3 v(t)\,dt.$$
а) $$v(t)=3t^2-4t+1$$
$$ l=\int\limits_0^3 (3t^2-4t+1)\,dt =\left(t^3-2t^2+t\right)\Big|_0^3 =27-18+3=12. $$
б) $$v(t)=\frac{1}{\sqrt{5t+1}}=(5t+1)^{-\frac12}$$
$$ l=\int\limits_0^3 \frac{dt}{\sqrt{5t+1}} =\frac{2}{5}\sqrt{5t+1}\Big|_0^3 =\frac{2}{5}\left(\sqrt{16}-\sqrt{1}\right) =\frac{2}{5}(4-1)=\frac{6}{5}. $$
в) $$v(t)=4t^3-6t^2$$
$$ l=\int\limits_0^3 (4t^3-6t^2)\,dt =\left(t^4-2t^3\right)\Big|_0^3 =81-54=27. $$
г) $$v(t)=\frac{1}{\sqrt{7t+4}}=(7t+4)^{-\frac12}$$
$$ l=\int\limits_0^3 \frac{dt}{\sqrt{7t+4}} =\frac{2}{7}\sqrt{7t+4}\Big|_0^3 =\frac{2}{7}\left(\sqrt{25}-\sqrt{4}\right) =\frac{2}{7}(5-2)=\frac{6}{7}. $$
Ответ
а) $$12$$ см; б) $$\frac{6}{5}$$ см; в) $$27$$ см; г) $$\frac{6}{7}$$ см.
