Упр.21.4 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.4 а)интеграл (1;5) dx/корень(2x-);б)интеграл (-2;1/3) 2dx/корень (10-3x).

Подробный ответ

а)

$$ \int_{1}^{5}\frac{dx}{\sqrt{2x-1}} =\int_{1}^{5}(2x-1)^{-\frac12}\,dx $$
Сделаем замену:
$$ u=2x-1,\qquad du=2\,dx,\qquad dx=\frac{du}{2}. $$
Тогда
$$ \int_{1}^{5}(2x-1)^{-\frac12}\,dx =\frac12\int_{1}^{9}u^{-\frac12}\,du =\frac12\cdot 2u^{\frac12}\Big|_{1}^{9} =\sqrt{u}\Big|_{1}^{9}. $$
Получаем:
$$ \sqrt{9}-\sqrt{1}=3-1=2. $$

б)

$$ \int_{-2}^{\frac13}\frac{2\,dx}{\sqrt{10-3x}} =\int_{-2}^{\frac13}2(10-3x)^{-\frac12}\,dx $$
Сделаем замену:
$$ u=10-3x,\qquad du=-3\,dx,\qquad dx=-\frac{du}{3}. $$
Тогда
$$ \int_{-2}^{\frac13}2(10-3x)^{-\frac12}\,dx =-\frac23\int u^{-\frac12}\,du =-\frac23\cdot 2u^{\frac12}\Big|_{-2}^{\frac13} =-\frac43\sqrt{10-3x}\Big|_{-2}^{\frac13}. $$
Подставим пределы:
$$ -\frac43\left(\sqrt{10-3\cdot\frac13}-\sqrt{10-3\cdot(-2)}\right) =-\frac43(\sqrt9-\sqrt{16}) =-\frac43(3-4)=\frac43. $$