Упр.21.39 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.39 а)интеграл (-2;3) |x|dx;в)интеграл (0;5) |x-1|dx; б)интеграл (-2;3) (|x-2|+4x)dx;г)интеграл (-3;2) (|x-1|-2x)dx.

1. $$\int_{-2}^{3} |x|\,dx$$

   Разобьём интеграл в точке $$x=0$$:

   $$ \int_{-2}^{3} |x|\,dx = \int_{-2}^{0} (-x)\,dx+\int_{0}^{3} x\,dx $$

   $$ \int_{-2}^{0} (-x)\,dx=\left.-\frac{x^2}{2}\right|_{-2}^{0}=2, \qquad \int_{0}^{3} x\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_{0}^{3}=\frac{9}{2} $$

   $$ \int_{-2}^{3} |x|\,dx=2+\frac{9}{2}=\frac{13}{2}=6{,}5 $$

2. $$\int_{-2}^{3} (|x-2|+4x)\,dx$$

   Разобьём в точке $$x=2$$:

   $$ \int_{-2}^{3} (|x-2|+4x)\,dx = \int_{-2}^{2} (2-x+4x)\,dx+\int_{2}^{3} (x-2+4x)\,dx $$

   $$ = \int_{-2}^{2} (3x+2)\,dx+\int_{2}^{3} (5x-2)\,dx $$

   $$ \int_{-2}^{2} (3x+2)\,dx=\left.\left(\frac{3}{2}x^2+2x\right)\right|_{-2}^{2}=16 $$

   $$ \int_{2}^{3} (5x-2)\,dx=\left.\left(\frac{5}{2}x^2-2x\right)\right|_{2}^{3}=\frac{21}{2} $$

   $$ \int_{-2}^{3} (|x-2|+4x)\,dx=16+\frac{21}{2}=\frac{53}{2}=26{,}5 $$

3. $$\int_{0}^{5} |x-1|\,dx$$

   Разобьём в точке $$x=1$$:

   $$ \int_{0}^{5} |x-1|\,dx = \int_{0}^{1} (1-x)\,dx+\int_{1}^{5} (x-1)\,dx $$

   $$ \int_{0}^{1} (1-x)\,dx=\left.(x-\frac{x^2}{2})\right|_{0}^{1}=\frac{1}{2} $$

   $$ \int_{1}^{5} (x-1)\,dx=\left.\left(\frac{x^2}{2}-x\right)\right|_{1}^{5}=8 $$

   $$ \int_{0}^{5} |x-1|\,dx=\frac{1}{2}+8=\frac{17}{2}=8{,}5 $$

4. $$\int_{-3}^{2} (|x-1|-2x)\,dx$$

   Разобьём в точке $$x=1$$:

   $$ \int_{-3}^{2} (|x-1|-2x)\,dx = \int_{-3}^{1} (1-x-2x)\,dx+\int_{1}^{2} (x-1-2x)\,dx $$

   $$ = \int_{-3}^{1} (-3x+1)\,dx+\int_{1}^{2} (-x-1)\,dx $$

   $$ \int_{-3}^{1} (-3x+1)\,dx=\left.\left(-\frac{3}{2}x^2+x\right)\right|_{-3}^{1}=10 $$

   $$ \int_{1}^{2} (-x-1)\,dx=\left.\left(-\frac{x^2}{2}-x\right)\right|_{1}^{2}=-\frac{5}{2} $$

   $$ \int_{-3}^{2} (|x-1|-2x)\,dx=10-\frac{5}{2}=\frac{15}{2}=7{,}5 $$

Ответ

а) $$6{,}5$$; б) $$26{,}5$$; в) $$8{,}5$$; г) $$7{,}5$$.