Упр.21.38 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.38 а)интеграл (0;4) корень (4x-x2)dx;б)интеграл (-1;0) (-x2-2x)dx.

а) Рассмотрим подынтегральную функцию:

$$y=\sqrt{4x-x^2}.$$

Возведём в квадрат:

$$y^2=4x-x^2,$$

$$x^2-4x+y^2=0,$$

$$x^2-4x+4+y^2=4,$$

$$\left(x-2\right)^2+y^2=4.$$

Это окружность с центром в точке $$\left(2,0\right)$$ и радиусом $$R=2$$.

Так как

$$4x-x^2\ge 0,$$

то

$$x\left(4-x\right)\ge 0,\qquad 0\le x\le 4.$$

На этом промежутке график задаёт верхнюю полуокружность, значит

$$\int\limits_0^4 \sqrt{4x-x^2}\,dx=\frac12\pi R^2=\frac12\pi\cdot 2^2=2\pi.$$

б) Рассмотрим подынтегральную функцию:

$$y=\sqrt{-x^2-2x}.$$

Возведём в квадрат:

$$y^2=-x^2-2x,$$

$$x^2+2x+y^2=0,$$

$$x^2+2x+1+y^2=1,$$

$$\left(x+1\right)^2+y^2=1.$$

Это окружность с центром в точке $$\left(-1,0\right)$$ и радиусом $$R=1$$.

Так как

$$-x^2-2x\ge 0,$$

то

$$x\left(x+2\right)\le 0,\qquad -2\le x\le 0.$$

На отрезке $$[-1,0]$$ изображена четверть круга, поэтому

$$\int\limits_{-1}^0 \sqrt{-x^2-2x}\,dx=\frac14\pi R^2=\frac14\pi\cdot 1^2=\frac{\pi}{4}.$$

Ответ

а) $$2\pi$$; б) $$\frac{\pi}{4}$$.