Упр.21.37 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Используя геометрические соображения,вычислите интеграл: 21.37 а)интеграл (0;4) корень(16-x2)dx;в)интеграл (-5;0) корень(25-x2) dx; б)интеграл (0;корень 2) корень(4-x2)dx; г)интеграл (-4;4) корень (64-x2)dx.

Подробный ответ

а) $$\int\limits_0^4 \sqrt{16-x^2}\,dx$$ — это площадь четверти круга радиуса $$4$$:

$$\int\limits_0^4 \sqrt{16-x^2}\,dx=\frac14\pi\cdot 4^2=4\pi.$$

б) $$\int\limits_0^{\sqrt2} \sqrt{4-x^2}\,dx$$ — это площадь части четверти круга радиуса $$2$$. Найдём её как сумму площади треугольника и площади сектора.

Для точки $$x=\sqrt2$$ имеем:

$$y=\sqrt{4-x^2}=\sqrt{4-2}=\sqrt2.$$

Значит, треугольник с катетами $$\sqrt2$$ и $$\sqrt2$$ имеет площадь

$$S_1=\frac12\cdot \sqrt2\cdot \sqrt2=1.$$

Центральный угол сектора равен $$45^\circ$$, поэтому

$$S_2=\frac{45^\circ}{360^\circ}\pi\cdot 2^2=\frac{\pi}{2}.$$

Тогда

$$\int\limits_0^{\sqrt2} \sqrt{4-x^2}\,dx=S_1+S_2=1+\frac{\pi}{2}.$$

в) $$\int\limits_{-5}^0 \sqrt{25-x^2}\,dx$$ — это четверть круга радиуса $$5$$:

$$\int\limits_{-5}^0 \sqrt{25-x^2}\,dx=\frac14\pi\cdot 5^2=\frac{25\pi}{4}.$$

г) $$\int\limits_{-4}^4 \sqrt{64-x^2}\,dx$$ — это площадь полуокружности радиуса $$8$$, но берётся только часть от $$x=-4$$ до $$x=4$$. Удобно рассмотреть правую половину и умножить на $$2$$.

Для точки $$x=4$$:

$$y=\sqrt{64-4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt3.$$

Тогда площадь соответствующей части равна сумме площади сектора с углом $$30^\circ$$ и площади треугольника:

$$S_1=\frac12\cdot 4\sqrt3\cdot 4=8\sqrt3,$$

$$S_2=\frac{30^\circ}{360^\circ}\pi\cdot 8^2=\frac{16\pi}{3}.$$

Следовательно,

$$\int\limits_{-4}^4 \sqrt{64-x^2}\,dx=2(S_1+S_2)=2\left(8\sqrt3+\frac{16\pi}{3}\right)=16\sqrt3+\frac{32\pi}{3}.$$