Упр.21.36 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.36 Решите неравенство: а)интеграл (0;t) 3(2x-1) dx меньше или равно 1/3ln3, t > 0; б)интеграл (-4;t) (2x-5 — 1/(x+5))dx больше или равно -30-ln(t+5),t > -4.

а) Вычислим интеграл:

$$ \int_0^t 3^{2x-1}\,dx = \left(\frac{3^{2x-1}}{2\ln 3}\right)\Bigg|_0^t = \frac{3^{2t-1}-3^{-1}}{2\ln 3}. $$

Тогда неравенство принимает вид:

$$ \frac{3^{2t-1}-3^{-1}}{2\ln 3}\le \frac{1}{3\ln 3}. $$

Так как $$\ln 3>0$$, умножим на $$6\ln 3$$:

$$ 3^{2t}-1\le 2. $$

$$ 3^{2t}\le 3 $$

$$ 2t\le 1 $$

$$ t\le \frac12. $$

С учётом условия $$t>0$$ получаем:

$$ t\in \left(0;\frac12\right]. $$

б) Найдём первообразную:

$$ \int \left(2x-5-\frac{1}{x+5}\right)\,dx = x^2-5x-\ln|x+5|+C. $$

Тогда

$$ \int_{-4}^{t}\left(2x-5-\frac{1}{x+5}\right)\,dx = \left(x^2-5x-\ln|x+5|\right)\Bigg|_{-4}^{t}. $$

Подставим пределы:

$$ t^2-5t-\ln(t+5)-\left((-4)^2-5(-4)-\ln 1\right)\ge -30-\ln(t+5). $$

Так как $$\ln 1=0$$, получаем:

$$ t^2-5t-36\ge -30. $$

$$ t^2-5t-6\ge 0. $$

$$ (t-6)(t+1)\ge 0. $$

Отсюда

$$ t\le -1 \quad \text{или} \quad t\ge 6. $$

С учётом условия $$t>-4$$ имеем:

$$ t\in (-4;-1]\cup [6;+\infty). $$

Ответ

а) $$t\in \left(0;\frac12\right]$$; б) $$t\in (-4;-1]\cup [6;+\infty)$$.