Упр.21.35 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.35 Решите уравнение: а)интеграл (0;t) (ex-3×2-2x)dx=et-3; б)интеграл (3;t) (1/(x-2) + 2×3)dx=ln(t-2)-t3+6,t > 3.

а) Вычислим интеграл:

$$ \int_0^t (e^x-3x^2-2x)\,dx = \left(e^x-x^3-x^2\right)\Big|_0^t = e^t-t^3-t^2-1. $$

По условию:

$$ e^t-t^3-t^2-1=e^t-3. $$

Тогда

$$ t^3+t^2-2=0, $$
$$ (t-1)(t^2+2t+2)=0. $$

Отсюда действительный корень только один:

$$ t=1. $$

б) Найдём значение интеграла:

$$ \int_3^t \left(\frac{1}{x-2}+2x-3\right)\,dx = \left(\ln|x-2|+x^2-3x\right)\Big|_3^t. $$

Так как $$t>3$$, то $$|t-2|=t-2$$, и получаем:

$$ \ln(t-2)+t^2-3t-\bigl(\ln 1+9-9\bigr)=\ln(t-2)+t^2-3t. $$

По условию:

$$ \ln(t-2)+t^2-3t=\ln(t-2)-t^3+6. $$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$ t^3+t^2-3t-6=0. $$

$$ (t-2)(t^2+3t+3)=0. $$

Из этого уравнения получаем $$t=2$$, но это не удовлетворяет условию $$t>3$$. Значит, корней нет.

Ответ

а) $$t=1$$; б) корней нет.