Упр.21.34 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.34 а)интеграл (0;x) sintdt < 1/2; в)интеграл (0;x) costdt < -корень 3/2; б)интеграл (Пи/2;x) cos2tdt > 1/2корень 2;г)интеграл (Пи;x) sin(t/2)dt > корень 3.

1. а) $$\int_0^x \sin t\,dt=-\cos t\Big|_0^x=-\cos x+1.$$

   Тогда

   $$-\cos x+1<\frac12,$$

   $$\cos x>\frac12.$$

   Отсюда

   $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. б) $$\int_{\pi/2}^x \cos 2t\,dt=\frac12\sin 2t\Big|_{\pi/2}^x=\frac12\sin 2x-\frac12\sin\pi=\frac12\sin 2x.$$

   Получаем неравенство

   $$\frac12\sin 2x>\frac{1}{2\sqrt2},$$

   $$\sin 2x>\frac{1}{\sqrt2}.$$

   Следовательно,

   $$\frac{\pi}{4}+2\pi n<2x<\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   то есть

   $$\frac{\pi}{8}+\pi n<x<\frac{3\pi}{8}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. в) $$\int_0^x \cos t\,dt=\sin t\Big|_0^x=\sin x.$$

   Тогда

   $$\sin x<-\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Отсюда

   $$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. г) $$\int_\pi^x \sin\frac{t}{2}\,dt=-2\cos\frac{t}{2}\Big|_\pi^x=-2\cos\frac{x}{2}+2\cos\frac{\pi}{2}=-2\cos\frac{x}{2}.$$

   Получаем

   $$-2\cos\frac{x}{2}>\sqrt3,$$

   $$\cos\frac{x}{2}<-\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Следовательно,

   $$\frac{5\pi}{6}+4\pi n<x<\frac{7\pi}{6}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

б) $$\frac{\pi}{8}+\pi n<x<\frac{3\pi}{8}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

в) $$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

г) $$\frac{5\pi}{6}+4\pi n<x<\frac{7\pi}{6}+4\pi n,\ n\in\mathbb Z$$