Упр.21.33 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите неравенство: 21.33 а)интеграл (0;x) tdt < 0,5; в)интеграл (0;x) t3dt < 0,25; б)интеграл (0;x) (3t2-8t+3)dt > 0; г)интеграл (0;x) (2t+5)dt > 6.

1. а)

   $$\int_0^x t\,dt=\left.\frac{t^2}{2}\right|_0^x=\frac{x^2}{2}$$
   Тогда
   $$\frac{x^2}{2}<0{,}5$$ $$x^2<1$$ $$x^2-1<0$$ $$ (x-1)(x+1)<0 $$ Отсюда $$-1<x<1.$$

2. б)

   $$\int_0^x (3t^2-8t+3)\,dt=\left.(t^3-4t^2+3t)\right|_0^x=x^3-4x^2+3x$$
   Получаем неравенство
   $$x^3-4x^2+3x>0$$
   $$x(x^2-4x+3)>0$$
   $$x(x-1)(x-3)>0.$$
   Корни: $$x=0,\;x=1,\;x=3.$$
   По знакам на промежутках:
   $$x\in(0;1)\cup(3;+\infty).$$

3. в)

   $$\int_0^x t^3\,dt=\left.\frac{t^4}{4}\right|_0^x=\frac{x^4}{4}$$
   Тогда
   $$\frac{x^4}{4}<0{,}25$$
   $$x^4<1$$
   $$x^4-1<0$$
   $$ (x-1)(x+1)(x^2+1)<0.$$
   Так как $$x^2+1>0$$ при любых $$x$$, получаем
   $$-1<x<1.$$

4. г)

   $$\int_0^x (2t+5)\,dt=\left.(t^2+5t)\right|_0^x=x^2+5x$$
   Тогда
   $$x^2+5x>6$$
   $$x^2+5x-6>0$$
   $$ (x+6)(x-1)>0.$$
   Отсюда
   $$x\in(-\infty;-6)\cup(1;+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in(-1;1)$$;
б) $$x\in(0;1)\cup(3;+\infty)$$;
в) $$x\in(-1;1)$$;
г) $$x\in(-\infty;-6)\cup(1;+\infty)$$.