Упр.21.32 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.32 При каком значении параметра a уравнение имеет только один корень: а)интеграл (-Пи/2;x) sintdt=a-x2; интеграл (0;x) costdt=(x-Пи/2)2+a?

Подробный ответ

а) Вычислим интеграл:

$$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{x}\sin t\,dt=-\cos t\Big|_{-\frac{\pi}{2}}^{x}=-\cos x+\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos x.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$-\cos x=a-x^2,$$

или

$$\cos x=x^2-a.$$

Рассмотрим графики функций $$y=\cos x$$ и $$y=x^2-a.$$

Чтобы уравнение имело только один корень, парабола должна касаться графика $$y=\cos x$$ в единственной точке. Так как $$\cos x\le 1$$ и максимум функции $$x^2-a$$ достигается при $$x=0$$, получаем условие касания в точке $$x=0$$:

$$\cos 0=0^2-a,$$

$$1=-a,$$

$$a=-1.$$

Проверка:

$$\cos x=x^2+1.$$

При $$x=0$$ имеем $$\cos 0=1$$ и $$0^2+1=1$$, значит, корень один.

б) Вычислим интеграл:

$$\int_{0}^{x}\cos t\,dt=\sin t\Big|_{0}^{x}=\sin x.$$

Тогда уравнение имеет вид

$$\sin x=\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2+a.$$

Рассмотрим графики функций $$y=\sin x$$ и $$y=\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2+a.$$

Чтобы уравнение имело только один корень, парабола должна касаться графика $$y=\sin x$$ в единственной точке. Вершина параболы находится в точке $$x=\frac{\pi}{2}$$, поэтому условие касания:

$$\sin\frac{\pi}{2}=a,$$

$$1=a.$$

Проверка:

$$\sin x=\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2+1.$$

При $$x=\frac{\pi}{2}$$ получаем $$\sin\frac{\pi}{2}=1$$ и $$\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}\right)^2+1=1$$, значит, корень один.