Упр.21.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.21 Вычислите интеграл (0;2) f(x)dx, если: а)f(x)=система 4x, x меньше или равно 1, 4×3, x > 1; б)f(x)=система корень x,0 меньше или равно x меньше или равно 1, 1/x, x > 1.

а) Разобьём интеграл по точке разрыва функции:

$$ \int_0^2 f(x)\,dx=\int_0^1 4^x\,dx+\int_1^2 4x^3\,dx $$

$$ \int_0^1 4^x\,dx=\left.\frac{4^x}{\ln 4}\right|_0^1=\frac{4-1}{\ln 4}=\frac{3}{\ln 4} $$

$$ \int_1^2 4x^3\,dx=\left.x^4\right|_1^2=16-1=15 $$

$$ \int_0^2 f(x)\,dx=15+\frac{3}{\ln 4} $$

б) Снова разобьём интеграл на два:

$$ \int_0^2 f(x)\,dx=\int_0^1 \sqrt{x}\,dx+\int_1^2 \frac{1}{x}\,dx $$

$$ \int_0^1 \sqrt{x}\,dx=\int_0^1 x^{1/2}\,dx=\left.\frac{2}{3}x^{3/2}\right|_0^1=\frac{2}{3} $$

$$ \int_1^2 \frac{1}{x}\,dx=\left.\ln|x|\right|_1^2=\ln 2-\ln 1=\ln 2 $$

$$ \int_0^2 f(x)\,dx=\ln 2+\frac{2}{3} $$

Ответ

а) $$15+\frac{3}{\ln 4}$$; б) $$\ln 2+\frac{2}{3}$$.