Упр.21.29 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.29 а)интеграл (0;x) cos2(t)dt=x/2; б)интеграл (0;x) cos2tdt+интеграл (Пи/4;x) sin2tdt = 0; в)2 интеграл (0;x) sin2(t)dt=x; г)интеграл (0;x) (2cos2t + 6cos6t)dt=0.
$$\int_0^x \cos^2 t\,dt=\frac{x}{2}$$
Используем формулу $$\cos^2 t=\frac{1+\cos 2t}{2}$$:
$$ \int_0^x \cos^2 t\,dt =\int_0^x \frac{1+\cos 2t}{2}\,dt =\left(\frac{t}{2}+\frac{\sin 2t}{4}\right)\Bigg|_0^x =\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}. $$
$$ \frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}=\frac{x}{2} \Rightarrow \sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z. $$
$$\int_0^x \cos 2t\,dt+\int_{\pi/4}^x \sin 2t\,dt=0$$
$$ \int_0^x \cos 2t\,dt=\frac{1}{2}\sin 2x, \qquad \int_{\pi/4}^x \sin 2t\,dt=\left(-\frac{\cos 2t}{2}\right)\Bigg|_{\pi/4}^x =-\frac{\cos 2x}{2}+\frac{\cos \frac{\pi}{2}}{2}. $$
Так как $$\cos \frac{\pi}{2}=0,$$ получаем:
$$ \frac{1}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\cos 2x=0 \Rightarrow \sin 2x-\cos 2x=0 \Rightarrow \tg 2x=1. $$
$$ 2x=\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z. $$
$$2\int_0^x \sin^2 t\,dt=x$$
Используем формулу $$\sin^2 t=\frac{1-\cos 2t}{2}$$:
$$ 2\int_0^x \sin^2 t\,dt =2\int_0^x \frac{1-\cos 2t}{2}\,dt =\int_0^x (1-\cos 2t)\,dt =\left(t-\frac{\sin 2t}{2}\right)\Bigg|_0^x =x-\frac{\sin 2x}{2}. $$
$$ x-\frac{\sin 2x}{2}=x \Rightarrow \sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z. $$
$$\int_0^x \bigl(2\cos 2t+6\cos 6t\bigr)\,dt=0$$
$$ \int_0^x \bigl(2\cos 2t+6\cos 6t\bigr)\,dt =\left(\sin 2t+\sin 6t\right)\Bigg|_0^x =\sin 2x+\sin 6x. $$
$$ \sin 2x+\sin 6x=0 \Rightarrow 2\sin 4x\cos 2x=0. $$
Отсюда:
$$ \sin 4x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi n}{4} $$
или
$$ \cos 2x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z. $$Объединяя, получаем:
$$ x=\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z. $$
Ответ
а) $$x=\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$
б) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$
в) $$x=\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$
г) $$x=\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb Z$$
