Упр.21.27 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 21.27 Зная,что интеграл (3;6) f(x)dx=12, найдите: а)интеграл (1;2) f(3x)dx;б)интеграл (-2,5;-1) f(1-2x)dx.

Используем замену переменной.

а) Пусть $$t=3x,$$ тогда $$dx=\frac{dt}{3}.$$ При $$x=1$$ получаем $$t=3,$$ при $$x=2$$ получаем $$t=6.$$ Тогда

$$ \int_{1}^{2} f(3x)\,dx = \frac{1}{3}\int_{3}^{6} f(t)\,dt = \frac{1}{3}\cdot 12 = 4. $$

б) Пусть $$t=1-2x,$$ тогда $$dx=-\frac{dt}{2}.$$ При $$x=-2{,}5$$ получаем $$t=6,$$ при $$x=-1$$ получаем $$t=3.$$ Следовательно,

$$ \int_{-2{,}5}^{-1} f(1-2x)\,dx = -\frac{1}{2}\int_{6}^{3} f(t)\,dt = \frac{1}{2}\int_{3}^{6} f(t)\,dt = \frac{1}{2}\cdot 12 = 6. $$

Ответ

а) $$4$$; б) $$6$$.